2015-2016学年高中数学17定积分的简单应用练习新人教A版选修2-2

【成才之路】2015-2016学年高中数学1.7定积分的简单应用练习新人教A版选修2-2一、选择题1.(2015·祁县高二期中)如图所示，阴影部分的面积是()A．23B．2－3C.323D．353[答案]C[解析]S＝－31(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.2．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx[答案]C[解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.3．曲线y＝x3－3x和y＝x围成的图形面积为()A．4B．8C．10D．9[答案]B[解析]由y＝x3－3x，y＝x，解得x＝0，y＝0.或x＝2，y＝2，或x＝－2，y＝－2.∵两函数y＝x3－3x与y＝x均为奇函数，∴S＝202[x－(x3－3x)]dx＝2·02(4x－x3)dx＝2(2x2－14x4)|20＝8，故选B.4．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m[答案]B[解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故应选B.5．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J[答案]D[解析]由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)|31＝14(J)，故应选D.6．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.12B．3－322C．6＋32D．6－32[答案]D[解析]3636tdt＝6t|63＝6－32，故应选D.二、填空题7．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________________．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2x，y＝x－4，得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝－24(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.8．一物体沿直线以速度v＝1＋tm/s运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是______．[答案]23(1132－1)[解析]S＝0101＋tdt＝23(1＋t)32|100＝23(1132－1)．9．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________________．[答案]43[解析]解法1：如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.解法2：同解法1求得A(1,1)，B(2,1)．由对称性知阴影部分的面积S＝2·[01(x2－14x2)dx＋12(1－14x2)dx]＝2·[14x3|10＋(x－112x3)|21]＝2×(14＋512)＝43.解法3：同解法1求得A(1,1)B，(2,1)，C(－1,1)，D(－2，1)．S＝－22(1－14x2)dx－－11(1－x2)dx＝(x－112x3)|2－2－(x－13x3)|1－1＝83－43＝43.解法4:同解法1求得A(1,1)，B(2,1)，取y为积分变量，由对称性知，S＝201(2y－y)dy＝201ydy＝2×(23y32|10)＝43.三、解答题10．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．[解析]由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3，解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.一、选择题11．(2015·海南文昌中学高二期中)若1a(2x＋1x)dx＝3＋ln2且a1，则实数a的值是()A．2B．3C．5D．6[答案]A[解析]1a(2x＋1x)dx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－(1＋ln1)＝3＋ln2，a1，∴a2＋lna＝4＋ln2＝22＋ln2，解得a＝2，故选A.12．利用定积分的几何意义，可求得－339－x2dx＝()A．9πB．92πC.94πD．32π[答案]B[解析]由定积分的几何意义知，－339－x2dx表示圆x2＋y2＝9位于x轴上方部分(即半圆)的面积，∴－339－x2dx＝12×π×32＝9π2.13．(2015·葫芦岛市一模)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形区域的A处与C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域，该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为()A.2e2B．1－2e2C.1eD．1－1e[答案]B[解析]由题意得：S阴＝201(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2，由几何概型得所求概率P＝1－S阴S正＝1－2e2.二、填空题14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________________．[答案]16[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型．联立y＝xy＝x解得x＝0y＝0，或者x＝1y＝1，∴O(0,0)，B(1,1)，∴S阴影＝01(x－x)dx＝(23x32－x22)|10＝23－12＝16，∴P＝S阴影S正方形＝161＝16.15．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________________.[答案]3[解析]∵切点M在切线y＝12x＋2上，∴f(1)＝12×1＋2＝52，又切线斜率k＝12，∴f′(1)＝12，∴f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.三、解答题16．设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x＝－t(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵其图象过点(0,1)，∴c＝1，又∵在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x＋y＋3＝0，∴f－＝1，f－＝－2.∵f′(x)＝2ax＋b，∴a－2＋b－＋1＝1，2a－＋b＝－2.∴a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S＝－10(x2＋2x＋1)dx＝(13x3＋x2＋x)|0－1＝13.(3)依题意，有12S＝－t0(x2＋2x＋1)dx＝(13x3＋x2＋x)|0－t＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.17．如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值．[解析](1)设点P的横坐标为t(0t2)，则点P的坐标为(t，t2)，直线OP的方程为y＝tx.S1＝0t(tx－x2)dx＝16t3，S2＝t2(x2－tx)dx＝83－2t＋16t3，因为S1＝S2，所以16t3＝83－2t＋16t3，解得t＝43，故点P的坐标为(43，169)．(2)令S＝S1＋S2，由(1)知，S＝16t3＋83－2t＋16t3＝13t3－2t＋83，则S′＝t2－2，令S′＝0，得t2－2＝0，因为0t2，所以t＝2，又当0t2时，S′0；当2t2时，S′0；故当t＝2时，S1＋S2有最小值，最小值为83－423，此时点P的坐标为(2，2)．