2015-2016学年高中数学25向量的应用练习(含解析)苏教版必修4

12．5向量的应用情景：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．思考：你能从数学的角度解释这种现象吗？1．用向量解答物理问题的模式．①建模，______________________________________________.②解模，_______________________________________________.③回答，_______________________________________________.答案：①把物理问题转化成数学问题②解答得到的数学问题③利用解得的数学答案解释物理现象2．力、速度、加速度、位移都是________，它们的合成与分解就是________．答案：向量向量的加减法3．功的定义即是力F与其所产生位移s的________．答案：数量积4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可由____________________表示出来．答案：向量的线性运算及数量积5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________．(2)通过________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、平行等．(3)把运算结果________成几何关系．答案：(1)几何问题转化为向量问题(2)向量运算(3)“翻译”26．常见到的问题包括以下命题：(1)求线段的长度或证明线段相等，可利用_________________________________________________________．(2)证明垂直或涉及垂直问题，常用__________________________________________________________．(3)线段平行或涉及共线问题，常用__________________________________________________________．(4)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式________，有时要用到投影的几何意义．答案：(1)向量的线性运算，向量模(2)向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)(3)向量平行(共线)的等价条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y227．直线l的方程：ax＋by＋c＝0.若n＝(－b，a)．则向量n与直线l的关系为________．若v＝(a，b)，则向量v与直线l的关系为________．答案：n∥lv⊥l向量在物理中的应用1．问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．2．模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．3．参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．4．问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．向量在平面几何中的应用1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．33．把运算结果“翻译”成几何关系．基础巩固1．过点A(2014，2015)且垂直于a＝(－1，1)的直线方程为________．答案：x－y＋1＝02．设△ABC的顶点A(0，0)，B(3，1)，C(6，5)，则重心G的坐标是________．答案：(3，2)3．如右图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.则对角线AC长为________．答案：64．一只鹰正以水平向下30°角的方向飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上影子的速度是40米/秒，则鹰的飞行速率约为________(精确到个位)．答案：46米/秒5．用两条成60°角的绳索拉一辆车．每条绳索上的拉力是12N，则合力为________(精确到0.1N)．答案：20.8N6．P为△ABC所在平面内一点，PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则S△ABC∶S△PBC＝________．解析：由已知得：2PA→＝－PC→.∴P为AC的三等份点．∴S△ABC∶S△PBC＝32.4答案：327．已知A(2，1)、B(3，2)、C(－1，4)，则△ABC的形状是________．答案：直角三角形8．在△ABC中，若BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是________．答案：等边三角形9．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形10．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5，1)，则共点力所做功W＝________J.解析：∵F1＋F2＝(lg2，lg2)＋(lg5，lg2)＝(1，2lg2)．∴ω＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2(J)．答案：211．两个粒子a、b从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4，3)，vb＝(2，10)．(1)写出此时粒子b相对粒子a的位移v；(2)计算v在va方向上的投影．解析：(1)v＝vb－va＝(2，10)－(4，3)＝(－2，7)．(2)|v|·cos〈v，va〉＝v·va|va|＝（－2，7）·（4，3）32＋42＝－8＋215＝135.能力升级12．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且AB＝1，则OA→·OB→＝________．解析：∵圆x2＋y2＝1的半径为1，AB＝1，5∴△AOB为正三角形．∴OA→·OB→＝1×1×cos60°＝12.答案：1213．平面内A(2，1)，B(1，2)，O为坐标原点，OP→＝λOA→＋μOB→，λ，μ∈R且λ＋μ＝1，则点P的轨迹方程是________________．解析：设P(x，y)，由λ＋μ＝1，∴A、B、P三点共线，故点P轨迹是一直线，方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝014．已知m＝(cosα，sinα)，n＝(cosβ，sinβ)α，β∈0，π2，且|m＋n|＝|m－n|，则tanα·tanβ＝________．解析：∵|m＋n|＝|m－n|，∴(m＋n)2＝(m－n)2，即：m·n＝0.∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0⇒cosαcosβ＝－sinαsinβ.∵α，β∈0，π2，∴tanα·tanβ＝－1.答案：－115．在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，且AB→＝DC→，则四边形ABCD形状是________．解析：AB→＝DC→⇒四边形ABCD为平行四边形，AB→·BC→＝0⇒AB⊥BC，故四边形ABCD为矩形．答案：矩形16．已知|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m、n∈R)，则mn等于________．解析：|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，且∠AOC＝30°.设点A坐标为(1，0)，点B坐标为(0，3)，点C坐标为(x，y)且y＝33x，OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，∴m＝x，n＝336y＝13x.∴mn＝3.答案：317．如下图所示，设I是△ABC的内心，当AB＝AC＝5，且BC＝6时，AI→＝λAB→＋μBC→，则λ＝____________，μ＝________．解析：设AI交BC于点D，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴D为BC的中点．∴BD＝3.∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABD.在△ABE与△DBI中，AEID＝ABBD＝53，又∵∠BID＝∠AEI＝∠AIE，∴AE＝AI.又∵ID＝AD－AI，∴AI＝58AD.即AI→＝58AD→，又∵AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→，∴AI→＝58AB→＋12BC→＝58AB→＋516BC→.∴λ＝58，μ＝516.答案：5851618．设集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R，且λ≠0)．若|a|＝|b|，且a，b不共线，则[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝________；若A(1，2)，B(3，6)，C(4，8)，且f(BC→)＝AB→，则λ＝________．解析：∵|a|＝|b|，且a，b不共线，∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝(λa－λb)·(a＋b)＝λ(|a|2－|b|2)＝0.又BC→＝(1，2)，∴f(BC→)＝λ(1，2)，AB→＝(2，4)．∴λ＝2.7答案：0219．连接直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段长是sinα和cosα，求直角三角形的斜边长．解析：如图所示，以直角三角形的两直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，D，E为AB的两个三等分点，OD＝sinα，OE＝cosα.设A(a，0)，B(0，b)，F为AB的中点，则Da3，23b，E23a，b3，且OF＝12AB.∴OD→·OE→＝a3×23a＋23b×b3＝29(a2＋b2)，且AB＝a2＋b2.又∵OF→＝12(OD→＋OE→)，∴|AB→|＝2|OF→|＝|OD→＋OE→|＝（OD→＋OE→）2＝OD→2＋OE→2＋2OD→·OE→.又∵OD＝sinα，OE＝cosα，∴a2＋b2＝1＋49（a2＋b2），即a2＋b2＝95.∴AB＝a2＋b2＝355.20．如右图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解析：设BM→＝e1，CN→＝e2，AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝2e1＋e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，8BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，得λ＝45，μ＝35.故AP→＝45AM→，即AP∶PM＝4∶1.21．已知对任意平面向量AB→＝(x，y)，把AB→绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP→＝(xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.(1)已知平面内点A(1，2)，点B(1＋2，2－22)．把点B绕点A沿顺时针方向旋转π4后得到点P，求点P的坐标；(2)设平面曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转π4后得到的点的轨迹是曲线x2－y2＝3，求原来曲线C的方程．解析：(1)设P(x，y)，则AP→＝(x－1，y－2)，AB→＝(2，－22)．将AB→绕点A沿顺时针方向旋转π4得到AP→，相当于沿逆时针方向旋转74π得到AP→，于是AP→＝(2cos74π＋22sin74π，2sin74π－22cos74π)＝(－1，－3)．所以x－1＝－1，y－2＝－3，解得x＝0，y＝－1.故点P的坐标为(0，－1)，(2)设曲线C上任一点P的坐标为(x，y)，OP→绕点O沿逆时针旋转π4后，点P的坐标为(x′，y′)，则x′＝xcosπ4－ysinπ4，y′＝xsinπ4＋ycosπ4，即x′＝22（x－y），y′＝22（x＋y）.9又因为x′2－y′2＝3，所以12(x－y)2－12(x＋y)2＝3.化简得y＝－32x.即原来曲线C的方程为y＝－32x.