搜索
第三章——函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例[学习目标]1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.栏目索引CONTENTSPAGE1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功预习导学挑战自我，点点落实[预习导引]1.解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.*3.2.2函数模型的应用实例这些步骤用框图表示如图：2.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.课堂讲义重点难点，个个击破要点一用已知函数模型解决问题例1通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：*3.2.2函数模型的应用实例f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43，0＜x≤10，59，10＜x≤16，－3x＋107，16＜x≤30.(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？解当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.*3.2.2函数模型的应用实例故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x≤30时，f(x)单调递减，f(x)＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.*3.2.2函数模型的应用实例(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？解f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5).因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些.*3.2.2函数模型的应用实例(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.*3.2.2函数模型的应用实例所以x＝1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.*3.2.2函数模型的应用实例规律方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景.在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题.*3.2.2函数模型的应用实例第二步：根据所给模型，列出函数关系式.根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答.*3.2.2函数模型的应用实例跟踪演练1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝112800x3－380x＋8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？*3.2.2函数模型的应用实例解当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油112800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升.*3.2.2函数模型的应用实例要点二建立函数模型解决实际问题例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；*3.2.2函数模型的应用实例解由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.*3.2.2函数模型的应用实例故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x，20≤x≤200.*3.2.2函数模型的应用实例(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)解依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x，20≤x≤200.*3.2.2函数模型的应用实例当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13x2＋2003x＝－13(x2－200x)＝－13(x－100)2＋100003，*3.2.2函数模型的应用实例所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时.*3.2.2函数模型的应用实例规律方法根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.*3.2.2函数模型的应用实例跟踪演练2某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝13t，N＝16t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.(1)写出y关于x的函数表达式；*3.2.2函数模型的应用实例解当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝13x(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝16(3－x)(亿元)，则有y＝13x＋16(3－x)，x∈[0,3].*3.2.2函数模型的应用实例解令x＝t，t∈[0，3]，则x＝t2，(2)求总利润y的最大值.此时y＝13t＋16(3－t2)＝－16(t－1)2＋23.∵t∈[0，3]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为23.即总利润y的最大值是23亿元.当堂检测当堂训练，体验成功12341.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A.310元B.300元C.390元D.280元*3.2.2函数模型的应用实例1234解析由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.答案B*3.2.2函数模型的应用实例12342.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()D*3.2.2函数模型的应用实例12343.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A.y＝2xB.y＝2x－1C.y＝2xD.y＝2x＋1解析分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个.D*3.2.2函数模型的应用实例12344.长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少x2时，面积达到最大，此时x的值为________.解析S＝(3＋x)(2－x2)＝－x22＋x2＋6＝－12(x－12)2＋498，∴x＝12时，Smax＝498.12*3.2.2函数模型的应用实例课堂小结1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.*3.2.2函数模型的应用实例3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.