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13．3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域1．一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：y＞kx＋b表示直线上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的平面区域．2．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域；我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．3．确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”，若直线不过原点，通常选择原点代入检验．4．二元一次不等式组表示的平面区域，是组内各不等式表示平面区域的公共部分．5．满足不等式x＞1的区域位于直线l：x＝1的右侧；满足不等式x－y－1＞0的区域位于直线l：x－y－1＝0的下方；这两个区域的公共部分是不等式组x＞1，x－y－1＞0的解所对应的点的集合．►基础巩固一、选择题1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是(D)A．(0，0)B．(1，1)C．(0，2)D．(2，0)解析：特殊点代入法验证．2．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的(D)A．左上方B．右上方C．左下方D．右下方解析：作直线2x－y－6＝0，将原点(0，0)代入检验．3．不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤3表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(C)A．(－∞，5)B．[8，＋∞)2C．[5，8)D．(－∞，5)∪[8，＋∞)解析：画图分析可知5≤a＜8.4．下图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为(C)A．0≤x≤2B.0≤x≤2，0≤y≤1C.x＋2y－2≤0，x≥yD.x＋2y－2≤0，x≥0，y≥0解析：将给出的不等式组与区域对比，可排除A、B、D三项．5．已知点(－3，1)和(0，－2)在直线x－y－a＝0的同一侧，则a的取值范围是(D)A．(－2，4)B．(－4，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：分两种情况讨论，分x－y－a＞0，x－y－a＜0.二、填空题6．点(1，3)和点(－4，2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．解析：∵(1，3)和(－4，2)在2x＋y＋m＝0的两侧，∴(2×1＋3＋m)[2×(－4)＋2＋m]＜0，即(m＋5)(m－6)＜0，即－5＜m＜6.3答案：(－5，6)7．若不等式2x＋y＋m＜3表示的平面区域包括点(0，0)和(1，1)，则m的取值范围是________．解析：将(0，0)和(1，1)代入不等式得m＜3，3＋m＜3⇒m＜0.答案：(－∞，0)8．不等式组x＋y－2≥0，x－y＋2≥0，x≤2表示的平面区域的面积是________．解析：由图可知，区域为△ABC，∴S＝12×4×2＝4.答案：4三、解答题9．求由约束条件x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分．解析：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如下图，其四个顶点为O(0，0)，B(3，0)，A(0，5)，P(1，4)．过点P作y轴的垂线，垂足为C.4则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，AP＝2，PB＝（4－0）2＋（1－3）2＝25，得S△ACP＝12AC·PC＝12，S梯形COBP＝12(CP＋OB)·OC＝8，∴S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝172，C阴影部分＝OA＋AP＋PB＋OB＝8＋2＋25.10．某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包1千克分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克．现已知库存面粉为15千克、糖12千克、鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解析：设高档蛋糕和普通面包应各生产x千克和y千克，则x、y所满足的数学关系式为100x＋300y≤15000，200x＋200y≤12000，300x＋100y≤15000，x≥0，y≥0⇒x＋3y≤150，x＋y≤60，3x＋y≤150，x≥0，y≥0.分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域，然后取交集．下图所示的平面区域(阴影部分)就是不等式组所表示的区域．5►能力升级一、选择题11．不等式组2x－y＋1≥0，x－2y－1≤0，x＋y≤1表示的平面区域为(B)A．正三角形B．等腰三角形C．一个无界区域D．不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：画出可行域，易得一个等腰三角形．12．不等式组（x－y＋5）（x＋y）≥0，0≤x≤3表示的平面区域是一个(C)A．三角形B．直角梯形C．等腰梯形D．矩形解析：不等式组即x－y＋5≥0，x＋y≥0，0≤x≤3或6x－y＋5≤0，x＋y≤0，0≤x≤3.前一个不等式组围成区域如右上图所示，为一等腰梯形；后一个不等式组的解集为空集．13．设集合A＝{(x，y)|x，y，2－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A)解析：由三角形任何两边之和大于第三边，得x＋（2－x－y）＞y，y＋（2－x－y）＞x，x＋y＞2－x－y⇒x＜1，y＜1，x＋y＞1.故知围成的区域如选项A中的图所示．二、填空题14．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，集合M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤0}，集合N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M∩N的面积是________．解析：f(x)＝x2－4x＋3，f(y)＝y2－4y＋3，由f(x)＋f(y)≤0⇒x2＋y2－4x－4y＋6≤0⇒(x－2)2＋(y－2)2≤2.由f(x)－f(y)≥0⇒x2－4x－y2＋4y≥0⇒(x－y)(x＋y－4)≥0.集合M∩N所表示的图形为：7其面积是两个14圆面积，而圆半径为2，∴面积为12×π×(2)2＝π.答案：π15．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，4)，B(－2，0)，C(2，0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为________．解析：将点(0，0)代入直线AB：2x－y＋4＝0，得4＞0，代入直线AC：2x＋y－4＝0，得－4＜0，故可知△ABC的内部位于x轴的上方，故2x－y＋4＞0，2x＋y－4＜0，y＞0.答案：2x－y＋4＞0，2x＋y－4＜0，y＞0三、解答题16．求不等式|x－2013|＋|y＋2014|≤2所表示的平面区域的面积．解析：将|x|＋|y|≤2表示的区域向右平移2013个单位，再向下平移2014个单位，即得|x－2013|＋|y＋2014|≤2所表示的区域，因此|x|＋|y|≤2和|x－2013|＋|y＋2014|≤2表示的区域面积相等，而|x|＋|y|≤2表示的区域是一个边长为22的正方形，其面积为(22)2＝8.