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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第二章圆锥曲线与方程成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1圆锥曲线与方程第二章第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12.2椭圆的简单几何性质第二章2.2.2双曲线的简单几何性质第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：双曲线的几何性质．难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1双曲线的几何性质思维导航1．类比椭圆几何性质及其研究方法，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的哪些几何性质？第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．在双曲线方程中，以－x、－y代替x、y方程不变，因此双曲线是以x轴、y轴为对称轴的__________图形；也是以原点为对称中心的__________图形，这个对称中心叫做__________________．轴对称中心对称双曲线的中心第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的__________，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的顶点是__________，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的__________，它的长等于__________.同时在另一条对称轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的__________，它的长等于__________，a、b分别是双曲线的__________和__________．3．设P(x，y)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，则x≥a或x≤－a，y∈R.顶点(±a,0)实轴2a虚轴2b实半轴长虚半轴长第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航2．椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？新知导学4．双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的__________，其取值范围是__________．e越大，双曲线的张口越__________．离心率(1，＋∞)大第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航3．在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上位于第一象限的部分上任取一点P(x，y)，计算P到直线y＝bax的距离d，利用P在双曲线上及x≥a，y0消去y可得d关于x的函数d＝f(x)，研究函数f(x)的单调性，你发现了什么？第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学5．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)位于第一象限部分上一点P(x，y)到直线y＝bax的距离d＝________________(用x表示)，d随x的增大而__________．这表明，随着x的增大，点P到直线y＝bax的距离越来越______，称直线y＝bax为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条_________，由对称性知，直线____________也是双曲线x2a2－y2b2＝1的一条__________．b|x－x2－a2|a2＋b2减小小渐近线y＝－bax渐近线第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条__________所在直线即为双曲线的渐近线．“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线__________接近，接近的程度是无限的．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时应先画出它的渐近线．对角线逐渐第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1椭圆双曲线方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)图形范围|x|≤a，|y|≤b______________6．对比是数学研究的重要方法，双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：|x|≥a，y∈R第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1椭圆双曲线对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点对称轴：x轴、y轴对称中心：原点顶点轴长(－a,0)、(a,0)(0，－b)、(0，b)长轴长2a，短轴长2b(－a,0)、(a,0)实轴长2a虚轴长2b离心率e＝ca，(0e1)e＝ca，(________)渐近线无有两条，其方程为__________e1y＝±bax第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1对称中心b7.双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及__________构成一个直角三角形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．(2)焦点F、过F作渐近线的垂线，垂足为D，则|OF|＝c，|FD|＝_______，|OD|＝a，△OFD亦是直角三角形，满足|OF|2＝|FD|2＋|OD|2，也称为双曲线的特征三角形．(3)实轴长与虚轴长________的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为________，其两条渐近线互相__________．相等2垂直第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．双曲线x225－y29＝1的顶点坐标是()A．(±5,0)B．(±5,0)或(0，±3)C．(±4,0)D．(±4,0)或(0，±3)[答案]A[解析]∵双曲线的顶点在x轴上，又a＝5，∴选A．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x±y＝1D．x±y＝0[答案]D[解析]双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±bax＝±x，故选D．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()A．x24－y25＝1B．x24－y25＝1C．x22－y25＝1D．x22－y25＝1[答案]B[解析]e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5，即双曲线的标准方程为x24－y25＝1.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．(2015·石家庄期末测试)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A．31414B．324C．32D．43[答案]C[解析]由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝ca＝32.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-15．(2015·浙江理)双曲线x22－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是____________.[答案]23；y＝±22x[解析]a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，∴c＝3.焦距为2c＝23，渐近线方程为y＝±22x.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[分析]将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作答．已知双曲线的方程，研究其几何性质第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1渐近线方程y＝±bax＝±23x.作草图如图：第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x2a2－y2b2＝1(或y2a2－x2b2＝1)，再根据它确定a、b的值(注意它们的分母分别为a2、b2，而不是a、b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1以双曲线y2－x23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝4B．x2＋(y－2)2＝2C．(x－2)2＋y2＝2D．x2＋(y－2)2＝4[答案]D[解析]双曲线y2－x23＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求适合下列条件的双曲线的标准方程：利用几何性质求双曲线的标准方程(1)实轴长为8，离心率为54；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，2a＝8.由题意知ca＝54且c2＝a2＋b2，∴a＝4，c＝5，b＝3，∴标准方程为x216－y29＝1或y216－x29＝1.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)由2a＝2b得a＝b，∴e＝1＋b2a2＝2，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.∴双曲线的标准方程为x26－y26＝1.第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝nmx的双曲线方程可设为：x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．第二章2.22.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的方程为__________.(2)与双曲线x2－