2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第3章导数及其应用322导数的运算法则

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章导数及其应用成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数及其应用第三章第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13.2导数的计算第三章3.2.2导数的运算法则第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：导数的四则运算法则及其运用．难点：导数的四则运算法则的理解运用．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y＝sinx，y＝cosx的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？导数的运算法则第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设f(x)、g(x)是可导函数，F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)·g(x)，则Fx＋Δx－FxΔx＝fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gxΔx＝fx＋Δx－fxΔx＋gx＋Δx－gxΔx，第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∴limΔx→0Fx＋Δx－FxΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＋limΔx→0gx＋Δx－gxΔx＝f′(x)＋g′(x)，Gx＋Δx－GxΔx＝fx＋Δxgx＋Δx－fxgxΔx＝fx＋Δxgx＋Δx－fx·gx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgxΔx＝gx＋Δx[fx＋Δx－fx]Δx＋fx·[gx＋Δx－gx]Δx，∴limΔx→0Gx＋Δx－GxΔx＝g(x)·f′(x)＋f(x)·g′(x)．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：(f(x)±g(x))′＝________________；(f(x)·g(x))′＝______________________．2．设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，fxgx′＝____________________________.f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)f′x·gx－fx·g′xg2x第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．2C．－1D．0[答案]A[解析]∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．函数y＝x4＋sinx的导数为()A．y′＝4x3B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinxD．y′＝4x3＋cosx[答案]D[解析]y′＝(x4＋sinx)′＝(x4)′＋(sinx)′＝4x3＋cosx.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．下列运算中正确的是()A．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′C．(sinxx2)′＝sinx′－x2′x2D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx[答案]B[解析]依据导数的运算法则，对照判断可知B正确．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．求下列函数的导数(1)y＝2x2－3x＋1，y′＝__________.(2)y＝(x＋2)2，y′＝__________.(3)y＝sinx＋cosx，y′＝__________.(4)y＝tanx，y′＝__________.(5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝__________.[答案](1)y′＝4x－3(2)y′＝2x＋4(3)y′＝cosx－sinx(4)y′＝1cos2x(5)y′＝6x＋5.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求下列函数的导数：导数的四则运算法则的应用(1)y＝(x＋1)2(x－1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝1x＋2x2＋3x3；(4)y＝xtanx－2cosx.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)解法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝1x＋2x2＋3x3′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－3－9x－4＝－1x2－4x3－9x4.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(4)y′＝xsinxcosx－2cosx′＝xsinx－2cosx′＝xsinx－2′cosx＋xsinx－2sinxcos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2x－2sinxcos2x＝sinxcosx＋x－2sinxcos2x＝tanx＋xcos2x－2tanxcosx.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)；②fxgx′≠f′xg′x.2．公式[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的推广为[f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′＝f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x)3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝x－sinx2·cosx2.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]由函数的和(或差)与积的求导法则，可得(1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(2)∵y＝x－sinx2·cosx2＝x－12sinx，∴y′＝1－12cosx.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析]∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.利用导数求参数第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝52，c＝－92.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．[解析]由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0.②由①、②解得a＝－4，b＝12.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．导数的综合应用[分析]求y′|x＝1即l1的斜率→求l2的斜率→求切点坐标→写出l2的方程→求l1与l2的交点，进而求三角形的面积第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)∵y′＝2x＋1，∴直线l1的斜率为k＝2×1＋1＝3，方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点A(a，a2＋a－2)，则l2的方程为y＝(2a＋1)x－a2－2，因为l1⊥l2，则有2a＋1＝－13，a＝－23.所以直线l2的方程为y＝－13x－229.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为(16，－52)，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，所以所求三角形的面积S＝12×|1－(－223)|×|－52|＝12512.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]利用导数的几何意义解决复杂函数的切线问题是高中数学的热点，在解题中导数是解题的工具，应熟练掌握应用导数公式及导数的四则运算法则求已知函数的导数．第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式．[解析]∵f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2,0)，∴2×23＋a·2＝0，b·22＋c＝0，∴a＝－8，4b＋c＝0.∴f(x)＝2x3－8x.第三章3.23.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1∵f′(x)＝6x2－8，g′(x)＝2bx，∴f′(2)＝6×22－8＝