2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第3章导数及其应用34生活中的优化问题举例

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2第三章导数及其应用成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1导数及其应用第三章第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13.4生活中的优化问题举例第三章第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案2课时作业3自主预习学案1第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1自主预习学案第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-11.了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．2．能利用导数求出某些特殊问题的最值．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1思维导航1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题通常统称为优化问题，解决这些问题的基本思路、途径、过程是什么？优化问题第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1新知导学1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．3．解决优化问题的基本思路：自变量最优第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1牛刀小试1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x0)．令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C．[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x20≤x≤40080000x400，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300[答案]D第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－200000≤x≤40060000－100xx400，P′＝300－x0≤x≤400－100x400，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-13．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小[答案]D[解析]导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-14．在周长为l的矩形中，面积的最大值为__________.[答案]l216[解析]设一边长为x，则另一边长为12(l－2x)，其面积S＝12x(l－2x)(0xl2)，由S′＝12l－2x＝0得x＝l4，此时S＝l216.第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1典例探究学案第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？面积、容积最大问题第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析]设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0xa2.即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0xa2.实际问题归结为求V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝16a，x2＝12a(舍去)．x1＝16a在区间0，a2内，x1可能是极值点．且当0xx1时，V′(x)0；当x1xa2时，V′(x)0.第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1因此x1是极大值点，且在区间0，a2内，x1是唯一的极值点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[方法规律总结]1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1其基本流程是第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-12．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．[解析]如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1设AD＝2x(0x2)，则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x(4－x2)(0x2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1当0x23时，S′0；当23x2时，S′0，所以，当x＝23时，S取得最大值，此时S最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83、433时，矩形的面积最大．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．利润最大问题第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；(2)若年销售量关于x的函数为y＝3240×－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？[解析](1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0x1)．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，令f′(x)＝0.所以x＝59或x＝3(舍)．当0x59时f′(x)0，当59x1时f′(x)0，所以x＝59时f(x)有最大值f59＝20000.第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1所以当x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000万元．[方法规律总结]利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[解析](1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝3x4x＋32，当每天x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N＋)．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1(2)T′＝－25·x＋32·x－16x＋82，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1费用(用料)最省问题统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？第三章3.4成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1[分析](1)汽车的耗油量关于行驶速度x的函数解析式是什么？其定义域是什么？(2)利用什么方法求出上述函数的最小值？[解析](1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(h)，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．答：当汽车以40km