2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件第3章32第2课时复数的乘法和除法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修1-11-2第三章数系的扩充与复数的引入成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2数系的扩充与复数的引入第三章第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-23.2复数的运算第2课时复数的乘法和除法第三章第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课前自主预习第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2实数可以进行乘、除运算，那么复数可以进行乘、除运算吗？怎样计算呢？其结果是怎样一个数呢？下面我们来学习复数的乘、除运算.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-21.复数的加减为________相加减，________相加减．2．复数的几何意义：|z|表示_______________________|z－a－bi|表示______________________．答案：1.实部与实部虚部与虚部2．复数z的对应点Z与原点O的距离，也就是向量OZ→的模；复数z的对应点Z与复数a＋bi的对应点A间的距离|ZA|.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2一复数的乘法1．运算法则两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然两个复数的积仍是复数．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-22．复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有(1)z1·z2＝z2·z1(交换律)；(2)(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；(3)z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．注意：实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-23．复数的乘方复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zn1·zn2，z0＝1；z－m＝1zm(z≠0)．注意：实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知a、b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i[答案]A[解析]∵a、b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1.∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2二共轭复数的性质复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi(a、b∈R)，由此可知：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称且|z|＝|z|；(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z(z∈R)；(3)z·z＝|z|2＝|z|2.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()A．iB．－iC．±1D．±i[答案]D第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析]设z＝a＋bi(a、b∈R)，∵z＋z＝4，∴a＝2.又∵z·z＝8，∴4＋b2＝8.∴b2＝4，∴b＝±2.即z＝2±2i，故zz＝±i，故选D.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2三复数的除法规定两个复数法的运算法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a、b、c、d∈R，c＋di≠0)．在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a＋bic＋di的形式，再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后，就可得到所求结果．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2(1)两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．(2)z＝a＋bi(a，b∈R)，z·z＝a2＋b2是进行复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．(3)设z1、z2为任意复数，则(z1z2)＝z1z2(z2≠0)．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-21＋3i1－i＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i[答案]B[解析]1＋3i1－i＝1＋3i1＋i1－i1＋i＝－2＋4i2＝－1＋2i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2四复数运算与技巧复数的运算顺序与实数的运算顺序相同．先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行加、减运算．同时要灵活运用i的幂的性质进行运算．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算：(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i.[解析](1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i＝[1＋i22]6＋2＋3ii3－2ii＝i6＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2五虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1－i1＋i＝－1，1＋i1－i＝i，1i＝－i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算i＋i2＋i3＋…＋i2015的值．[解析]∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，∴i＋i2＋i3＋i4＝0，∴i＋i2＋i3＋…＋i2015＝i2013＋i2014＋i2015＝－1.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．[解题提示]应用复数的乘法法则及运算律求解．复数的乘法运算第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝(24－8i－6i＋2i2)＋(28－21i－4i＋3i2)＝47－39i.[方法总结]多个复数相乘可按从左到右的顺序运算或应用乘法运算律运算，能够使用乘法公式计算的应用公式更简捷．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．[答案]21[解析]∵z＝(5＋2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，∴z的实部为21.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2复数的除法运算计算：(1)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2；(2)i－231＋23i＋(5＋i3)－(1＋i2)6.[解题提示]先按复数四则运算法则运算，最后写成a＋bi(a，b∈R)的形式．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析](1)2－i3－4i1＋i2＋(1－i)2＝2－i3－4i·2i－2i＝2－i8＋6i－2i＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i100－2i＝110－115i.(2)i－231＋23i＋(5＋i3)－(1＋i2)6＝1＋23ii1＋23i＋[5＋i2·i]－[(1＋i2)2]3＝i＋5－i－i3＝5＋i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[方法总结]复数加减法类似于多项式加减法，即合并同类项；复数的乘法类似于多项式乘法；复数的除法类似于分母有理化，使分母实数化．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i[答案]D[解析]由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝253＋4i3－4i3＋4i＝3＋4i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2整体代入思想的应用计算(12＋32i)4.[解题提示]灵活应用ω的性质．[解析]原式＝[－(－12－32i)]4＝(－ω2)4(令ω＝－12＋32i)＝ω8＝ω2(因为ω6＝1)＝ω(因为ω2＝ω)＝－12－32i.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[方法总结]由方程x3＝1得x1＝1，x2＝－12i＋32i，x3＝－12－32i.取ω1＝－12＋32i，ω2＝－12－32i，则有如下关系：①ω31＝ω32＝1；②ω1＋ω2＋1＝0；③ω21＝ω2，ω22＝ω1；④ω1＝ω2，ω1＝ω2；⑤ω1·ω2＝1.解题时要灵活运用，适当变形，巧用ω1，ω2的性质，从而达到事半功倍的效果．第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2计算(3－i2＋1＋3i2)12.[解析]因为3－i2＋1＋3i2＝3i－i22i＋1＋3i2＝1＋3i2(1i＋1)＝－(－12－32i)(1－i)，故原式＝(－1)12(－12－32i)12(1－i)12＝[(－12－32i)3]4[(1－i)2]6＝1×(－2i)6＝－64.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2两个互为共轭的复数之差是()A．实数B．纯虚数C．0D．0或纯虚数[误解]设互为共轭复数的两个复数分别为z＝a＋bi，z＝a－bi(a、b∈R)，则z－z＝－2bi或z－z＝－2bi.所以选B.第三章3.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1