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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-1第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1常用逻辑用语第一章第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-11.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”第一章第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课前自主预习第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1许多电器都有自动控制的功能．如：洗衣机在脱水时，如果“达到预定时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机，相应的电路，叫做或门电路．电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路，叫做与门电路．本节我们开始学习逻辑联结词“或”“且”.第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-11.讨论：下列三个命题间有什么关系？(1)菱形的对角线互相垂直；(2)菱形的对角线互相平分；(3)菱形的对角线互相垂直且平分．2．交集、并集是怎样定义的？第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1答案：1.命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题．2．由既属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫作A、B的交集，记作A∩B.由集合A，B的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1一、关于逻辑联结词“且”1．“且”的含义逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”“及”“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须同时兼得．2．“p且q”形式的命题用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-13．关于“且”的理解(1)从集合角度理解“且”，即集合运算“交”．由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A和集合B的交集A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1(2)从如图串联开关电路上看，当两个开关S1，S2都闭合时，灯才能亮；当两个开关S1，S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．4．判断命题p∧q的真假当命题p，q都为真命题时，p∧q就是真命题；p，q两个命题中，只要有一个命题为假命题，p∧q就为假命题．可简化为：“一假即假”．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1将下列各小题中的命题p，q用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：(1)p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；(2)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；(3)p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[解析](1)p∧q：正方形的四条边相等且四个角相等，真命题．(2)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，假命题．(3)p∧q：三角形两条边的和大于第三边且两条边的差小于第三边，真命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1二、关于逻辑联结词“或”1．“或”的含义逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”是相当的．但是日常语言中的“或者”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”．这里仅研究“可兼”的“或”在数学中的含义，即二者中至少有其一即可．2．“p或q”形式的命题用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-13．关于“或”的理解(1)从集合角度理解“或”，即集合运算“并”．由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A和集合B的并集A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．(2)从如图的并联开关电路上看，当两个开关S1，S2至少有一个闭合时，灯就亮；只有当两个开关S1和S2都断开时，灯才不会亮．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-14．判断命题p∨q的真假当p，q两个命题中至少有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1把下列各小题中的命题p，q用“或”联结成新命题，并判断它们的真假．(1)p：∅{0}，q：0∈∅；(2)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[解析](1)p∨q：∅{0}或0∈∅，真命题．(2)p∨q：A⊆A或A∩A＝A，真命题．(3)p∨q：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点或方程x2＋3x－4＝0没有实根，假命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1三、命题“p∧q”“p∨q”的真假判断1．命题p∧q的真假当p，q都是真命题时，p∧q为真命题，当p，q两个命题中至少有一个是假命题时，p∧q为假命题．反过来，当p∧q为真命题时，则p，q一定都是真命题；当p∧q为假命题时，p，q两个命题中至少有一个是假命题，即以下三种情形一定会有一种情形出现：①p真，q假；②p假，q真；③p假，q假．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1归纳总结：对p∧q形式的命题真假的判断，可以总结成下表：pqp∧q真真真真假假假真假假假假可用一句话概括为：一假即假．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-12．命题p∨q的真假当p，q两个命题中至少有一个是真命题时，则p∨q是真命题；只有当两个命题都为假命题时，p∨q是假命题．反过来，如果p∨q是真命题，则p，q两个命题中至少有一个是真命题，即以下三种情况必有一种出现：①p真，q真；②p真，q假；③p假，q真．如果p∨q是假命题，则p，q一定都是假命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1归纳总结：对p∨q形式的命题真假的判断，可以总结成下表：pqp∨q真真真真假真假真真假假假可用一句话概括为：两假才假．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1指出下列命题的真假．(1)命题：“－3是偶数或奇数”；(2)命题：“2属于集合Q，也属于集合R”．[解析](1)此命题是“p或q”的形式，其中p：－3是偶数，q：－3是奇数．因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以“p或q”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p且q”的形式，其中p：2∈Q，q：2∈R.因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以命题“p且q”为假命题，故原命题为假命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1四、利用含有逻辑联结词的命题的真假求参数范围由含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围，可借助分类讨论、数形结合的思想方法求解．1．分类讨论法对于两个简单命题一真一假，但不确定哪个为真哪个为假时，可分类讨论，如“p且q”为假，“p或q”为真时，p，q必有一个为真，一个为假，可分p真q假和p假q真讨论．设p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则p为假的集合为∁UA.设q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则q为假的集合为∁UB.从而p与q一真一假的参数取值范围的集合为(A∩∁UB)∪(B∩∁UA)．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-12．数形结合法从集合的角度看，“p或q”为真，“p且q”为假，即p，q有且只有一个为真．设满足p的集合为A，满足q的集合为B，则p，q有且只有一个为真时满足如图所示的阴影部分，即∁(A∪B)(A∩B)．若所表示的集合可在数轴上标出，数形结合即可写出结果．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1已知p：x2＋4mx＋1＝0有两个不相等的负实根，q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．[解析]p：x2＋4mx＋1＝0有两个不相等的负实根⇔Δ＝16m2－40，－4m0⇒m12.q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数⇒0m2－m＋11⇒0m1.因为p或q为真，p且q为假，所以p和q必一真一假．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1①若p真，q假，则m12，m≤0或m≥1⇒m≥1.②若p假，q真，则m≤12，0m1⇒0m≤12.综上，得m的取值范围是(0，12]∪[1，＋∞)．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课堂典例探究第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1分别写出下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数．(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等．(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是x＋1＝0的根．“p∧q”形式的命题及其真假的判定第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[思路分析]用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．[解析](1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数；由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．[方法总结](1)写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“且”命题时，后一个命题可省略主语，如例1(1)．(2)判断“且”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“且”命题的真假．第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1分别写出下列各组命题构成的“p∧q”命题，并判断其真假．(1)p：2是有理数，q：2是无理数；(2)p：函数f(x)＝0是奇函数，q：函数f(x)＝0是偶函数；(3)p：不等式x2＋2x＋21的解集为R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[解析](1)p∧q：2是有理数且是无理数．因为p假，q真，所以“p∧q”为假．(2)p∧q：函数f(x)＝0即是奇函数，又是偶函数．因为p真，q真，所以“p∧q”为真．(3)p∧q：不等式x2＋2x＋21的解集为R且不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.因为p假，q假，所以“p∧q”为假.第一章1.21.2.1成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1“p∨q”形式的命题及其真假的判定分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p：正多