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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修2-1第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1常用逻辑用语第一章第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-11.2基本逻辑联结词1.2.2“非”(否定)第一章第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课前自主预习第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫．”盒子上的话如图所示，求婚者猜中了，你知道他是怎样猜中的吗？第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1提示：金盒上的铭牌“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是两个命题，其中一个是另一个的否定，由逻辑知识可知，它们一真一假．又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒的铭牌所说的那句话“肖像不在这盒里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里.第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-11.已知A⊆U，则∁UA＝{x|________}．2．应用逻辑联结词求参数范围的步骤是什么？答案：1.x∈U且x∉A.2．步骤1：分别求出命题p，q对应的参数集合A，B；步骤2：由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假；步骤3：由p，q的真假转化为相应的集合的运算；步骤4：求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1一、关于逻辑联结词“非”1．“非”的含义逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的．2．命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-13．¬p的真假判定¬p与p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假，且¬(¬p)＝p.4．对“非”的理解(1)从集合角度理解“非”即集合运算“补”．由“非”的含义，我们可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁UA＝{x∈U|¬(x∈A)}＝{x∈U|x∉A}．(2)“非”是否定的意思，“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1写出下列各命题的“非”(否定)，并判断其真假．(1)p：44；(2)p：N⊆Z；(3)p：方程x2－5＝0有有理根．[解析](1)¬p：4≤4，真命题．(2)¬p：NZ，假命题．(3)¬p：方程x2－5＝0没有有理根，真命题．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1二、存在性命题的否定含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定¬p：∀x∈A，¬p(x)．存在性命题的否定是全称命题．否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．例如：p：至少有一个质数不是奇数；¬p：所有的质数都是奇数．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则¬p是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根[答案]C第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1三、全称命题的否定含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定¬q：∃x∈A，¬q(x)．全称命题的否定是存在性命题．否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，有的命题省略了全称量词，否定时要特别注意．如：p：实数的绝对值是正数．如将¬p写成：“实数的绝对值不是正数”是错误的．原因是：p为假命题，¬p也为假命题，这与p，¬p一个为真一个为假相矛盾．命题p中隐含了全称量词“所有”，即“所有实数的绝对值是正数”，因此正确的否定应为“有一个实数的绝对值不是正数”．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1设命题p：∀x∈R，x2＋10，则¬p为()A．∃x0∈R，x＋10B．∃x0∈R，x＋1≤0C．∃x0∈R，x＋10D．∀x∈R，x2＋1≤0[答案]B[解析]p：∀x∈R，x2＋10，¬p为∃x∈R，x2＋1≤0.把全称命题改为存在性命题，否定结论．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1四、利用¬p对命题进行转化1．对¬p的理解逻辑联结词“非”的含义是由日常生活语言中的“不是”“否定”“问题的反面”“对立”等抽象而来的．对“非”的理解可联想集合中“补集”的概念．如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“∉”，那么，命题p和它的否定¬p可以对应于集合P和它的补集∁UP，“p是真命题”对应于“a∈P”，“¬p是假命题”对应于“a∈∁UP”，“p是假命题”对应于“a∉P”，“¬p是真命题”对应于“a∈∁UP”．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1¬p必须包括p的所有对立面，如命题p：4是奇数，命题¬p就是：4不是奇数．不能将¬p写成“4是偶数”，因为命题p中涉及的数集是实数集，实数集由四部分组成：奇数、偶数、分数和无理数，所以尽管“4是偶数”与“4是奇数”是对立的(在整数范围内)，但它不是“4是奇数”的全部对立面(在实数范围内)．2．命题“p∧q”与“p∨q”的否定根据“且”“或”的含义，“p∧q”的否定，即¬(p∧q)＝(¬p)∨(¬q)；“p∨q”的否定，即¬(p∨q)＝(¬p)∧(¬q)，它类似于集合运算中“∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)”．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1例如：“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0且x≠1”，“x＝2且y＝3”的否定是“x≠2或y≠3”．有些数学问题从正面入手求解难度较大时，可以考虑从反面入手解决．对于给出命题的真假求参数的取值范围问题，当命题p中参数的范围不易求出时，可以利用¬p与p不能同真同假的特点，先求出¬p中参数的范围，再取其补集，即为p中参数的范围．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1已知两函数(1)y＝x2＋2ax－(1－3)a＋3；(2)y＝x2＋2x＋3a2.求证：对于任意实数a，这两个函数的图像至少有一个位于x轴上方．[证明]假设两函数图像都不位于x轴上方，则有Δ1＝4a2＋4[1－3a－3]≥0Δ2＝4－12a2≥0，第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1即a2－3－1a－3≥0，3a2≤1，解得a≥3或a≤－1，－33≤a≤33，∴a的解集为∅.这说明不存在实数a使两函数图象都不位于x轴上方，即对任意实数a，这两个函数的图象至少有一个位于x轴上方．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1课堂典例探究第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心是(1,0)；(2)q：50是7的倍数；(3)r：一元二次方程至多有两个解；(4)s：78.“¬p”形式的命题及其真假第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[思路分析](1)“是”的否定词语为“不是”，利用命题的否定的定义写出¬p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．因原命题是真命题，故其非是假命题．(2)¬q：50不是7的倍数．因原命题为假，故其否定为真．(3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”，利用命题的否定的定义写出该命题的否定¬r：一元二次方程至少有三个解．因原命题为真，故其否定为假．(4)¬s：7≥8.因原命题是真命题，故其否定为假．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[解析](1)¬p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．(假)(2)¬q：50不是7的倍数．(真)(3)¬r：一元二次方程至少有三个解．(假)(4)¬s：7≥8.(假)[方法总结]1.关于命题“p∧q”与“p∨q”的否定(1)命题“p∧q”表示“p与q”都具有某一性质，所以“p∧q”的否定应该是“p，q至少有一个不满足某一性质”，即“p∧q”的否定为“(¬p)∨(¬q)”．(2)命题“p∨q”表示“p与q至少有一个具有某一性质”，所以“p∨q”的否定应该是“p，q都不满足某一性质”，即“p∨q”的否定为“(¬p)∧(¬q)”．第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-12．常用正面词语的否定写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下：正面词语等于大于()小于()是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的否定至少有两个一个也没有某个正面词语所有的至多有n个任意两个否定某些至少有n＋1个某两个第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1(1)“函数f(x)＝x2＋x＋1无零点”是________命题(填真、假)．(2)写出下列命题p的否定，并判断其真假：①p：周期函数都是三角函数．②p：偶函数的图象关于y轴对称．③p：若x2－x≠0，则x≠0且x≠1.第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[解析](1)真由于“方程x2＋x＋1＝0无实数根”，所以“函数f(x)＝x2＋x＋1无零点”是真命题．(2)①¬p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，¬p是真命题．②¬p：偶函数的图象不都关于y轴对称．命题p是真命题，¬p是假命题．③¬p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.命题p是真命题，¬p是假命题.第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1全称命题的否定(1)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1(2)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．¬p∶∃x∈R，sinx≥1B．¬p∶∀x∈R，sinx≤1C．¬p∶∃x∈R，sinx1D．¬p∶∀x∈R，sinx1[思路分析]“∀x∈D，p(x)”的否定是“∃x∈D，¬p(x)”．注意本题中的“≥”的否定是“”．[答案](1)C(2)C第一章1.21.2.2成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修2-1[方法总结]1.对全称命题否定的两个步骤第一步改变量词：把全称量词换为恰当