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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1常用逻辑用语第一章第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1孟子说过一句“废话”：人人亲其亲长其长而天下平．这句话的意思是“只要人人孝顺自己的双亲服从自己的尊长，天下就太平”．从逻辑的角度看，这句话虽然有条件关联词，却不是条件关系，而是同一个意思的重复，它的前后两句是可以颠倒的，“只要天下平，人人而亲其亲长其长”．真正的条件关系，前后句是不能颠倒的，就如“只要你给我钱，我就高兴”不能颠倒成“只要我高兴，你就给我钱”．第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1逻辑无时无刻不存在于我们的思维和语言中，逻辑常指人们思考问题时从某些已知条件推出合理结论的规律．人们说某人逻辑性强，就是说他善于推理，能得出正确结论．你想成为有逻辑思维的人吗？第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1链接生活：第一章常用逻辑用语成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11.1命题第一章第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课前自主预习第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作________．其中判断为真的语句叫作________，判断为假的语句叫作________．通常把命题表示为“________”的形式，其中p是条件，q是结论．2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作________，其中一个命题叫作________，另一个叫作原命题的________．命题真命题假命题若p，则q互逆命题原命题逆命题第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫作________，其中一个命题叫作________，另一个叫作原命题的________．4．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫作_______________，其中一个命题叫作________，另一个叫作原命题的________．互否命题原命题否命题互为逆否命题原命题逆否命题第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．四种命题之间的关系(1)四种命题之间的关系如下：(2)四种命题真假性之间的关系：①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．对命题概念的两点认识(1)命题是对一个结论的判断：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含糊不清，命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断，这个判断可能正确，也可能错误，所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)命题都由条件和结论构成：任何命题都有条件和结论，都可以改写成“若p，则q”的形式．数学中，一些命题表面上看不具有“若p，则q”的形式，如“对顶角相等”，但是适当改变叙述方式，就可以写成“若p，则q”的形式，即“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这样，命题的条件和结论就十分清楚了．一般地，在命题中，已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．四种命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．3．对四种命题间真假关系的认识“互逆命题”、“互否命题”、“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相互关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．对四种命题间结构关系的认识(1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有必然关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一．命题的四种形式之间的关系，提供了一个判断命题真假的变通手段，由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真或同假，所以当一个命题不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．如判断“a·b≤0⇒a≤0或b≤0”的真假，直接判断不容易，但判断其逆否命题“a0且b0⇒a·b0”就容易多了．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1预习效果检测第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．下列语句中，不能成为命题的是()A．512B．x0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点[答案]B[解析]分析各语句是否能判断出真假，A假，C真，D真，在未给x赋值之前，不能判断x0的真假，所以x0不是命题．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．下列说法中：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②③④[答案]B[解析]互为逆否命题的两个命题同真假．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[答案]C[解析]本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为__________________，结论为__________________．[答案]等腰三角形，两个底角相等5．命题“若ab，则2a2b－1”的否命题是__________．[答案]若a≤b，则2a≤2b－1[解析]该题将不等式和四种命题综合在一起，要注意不等号的方向及等号的取舍．原命题的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b－1.”第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课堂典例讲练第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假．(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)所有的质数都是奇数；(4)5x4x；(5)x∈R，则x2＋4x＋70；(6)未来是多么美好啊！(7)你是高二的学生吗？(8)若x＋y是有理数，则x、y都是有理数．命题的概念与命题真假的判断[分析]语句――→能否判断真假命题―→真假判断第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)是命题，而且是真命题．(2)是命题，而且是假命题．如图所示，四边形ABCD，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于对角线BD．(3)是命题，而且是假命题．因为2是质数，但不是奇数．(4)不是命题．因为x是未知数，不能判断真假．(5)是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋30，不等式恒成立．(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题．(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(8)是命题，而且是假命题．如x＝2，y＝－2，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．(1)x≥16(2)一个实数不是正数就是负数．(3)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．(4)空集是任何非空集合的真子集．(5)指数函数是增函数吗？第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)不是命题．因为没有给定变量x的值，无法确定其真假．(2)是假命题．因为0既不是正数也不是负数．(3)是真命题．代入验证即可．(4)是真命题．由空集的定义和性质不难得出．(5)不是命题．因为是疑问句无法判断真假．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1命题的结构(1)“在同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”改为“若p，则q”的形式是__________________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.②当m＞14时，mx2－x＋1＝0无实根．③当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.④当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[分析]将命题改写为“若p，则q”的形式的方法及原则．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)命题的条件：在同一个平面内，两条直线平行于同一条直线．命题的结论：这两条直线平行．“若p，则q”的形式：在同一个平面内，若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题．②若m＞14，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．③若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0，真命题．④若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]命题改写中的注意事项任何命题都由条件和结论构成，“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论是隐含的，还需要把这个命题补充完整后再进行改写．第一章1.1成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)6是12和18的公约数．(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．(3)负数的立方仍是负数．[解析](1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．真命题．(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．假命题．(3)若一个数是负数，则它的立方仍是负数．