2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件第2章空间向量与立体几何25夹角的计算

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量与立体几何第二章第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12.5夹角的计算第二章第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课前自主预习第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在____________内的角叫作两直线的夹角．2．异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角．[0，π2]第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．直线夹角的求法设直线l1与l2的方向向量分别是s1，s2.当0≤〈s1，s2〉≤π2时，l1与l2的夹角等于____________；当π2〈s1，s2〉≤π时，l1与l2的夹角等于____________．实际操作中，设l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝____________.〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉|cos〈s1，s2〉|第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．平面夹角的概念在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在____________内的角为两个平面的夹角．5．平面夹角的求法设平面α与平面β的法向量分别为n1与n2，两平面的夹角为θ.当0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝____________；当π2〈n1，n2〉≤π时，θ＝____________．即cosθ＝____________.[0，π2]〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉|cos〈n1，n2〉|第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-16．直线与平面的夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．夹角的范围是[0，π2]．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-17．直线与平面夹角的求法设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.当0≤〈n，a〉≤π2时，θ＝____________；当π2〈n，a〉≤π时，θ＝____________.即sinθ＝____________.π2－〈n，a〉〈n，a〉－π2|cos〈n，a〉|第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴cosθ＝|a·b||a|·|b|.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．求二面角平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，n1，n2＝θ，则二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1|·|n2|.3．求直线与平面所成的角如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．5．异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1预习效果检测第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错[答案]C第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．若直线l与平面α所成角为π3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A．0，2π3B．π3，πC．π3，2π3D．π3，π2[答案]D第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，则侧棱与底面夹角的余弦值为()A．32B．12C．33D．36[答案]D第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A．63B．255C．155D．105[答案]D第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]连结A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连结OB．由已知得C1O⊥平面BB1D2D，∴∠C1BO为所求角．在Rt△C1OB中，得sin∠C1BO＝105.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课堂典例讲练第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1异面直线所成的角在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，求AB1与C1B所成角的大小．[解析]方法一：如图所示，以A为原点，射线AC、AA1分别为y轴、z轴，过A垂直于AC、AA1的射线为x轴，建立直角坐标系，取BB1＝1，则B(62，22，0)，B1(62，22，1)，C1(0，2，1)，第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1∴AB1→＝(62，22，1).BC1→＝(－62，22，1)．∴AB1→·BC1→＝62×(－62)＋22×22＋1×1＝0.∴AB1→⊥BC1→，即异面直线AB1与BC1所成的角为90°.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1方法二：如图所示，连接B1C，设B1C∩BC1＝O.取AC中点D，连OD，则OD∥AB1.即∠BOD为AB1和BC1所成的角．取BB1＝1，在△BOD中，OD＝OB＝12AB1＝32，BD＝62，由余弦定理得cos∠BOD＝322＋322－6222×32×32＝0，∴∠BOD＝90°，即AB1与BC1所成的角为90°.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思](1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积．(2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方法：通常是平移变异面直线为相交直线，然后解三角形．在求两条直线所成的角时，容易忽略了两直线所成角的范围．用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2014·新课标Ⅱ理)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为()A．110B．25C．3010D．22[答案]C第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC＝C1C＝2，则A(0,2,2)，B(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,1,0)．∴BM→＝(－1,1，－2)，AN→＝(0，－1，－2)．cosθ＝BM→·AN→|BM→|·|AN→|＝0－1＋46·5＝3010.故选C．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1求二面角的大小(2014·浙江理)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析](1)在平面四边形BCDE中，BC＝2，在三角形ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝2.根据勾股定理逆定理．∴AC⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCOE，而平面ABC∩平面BCDE＝BCAC⊥BC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE，又∵AC⊥DE，DE⊥DC∴DE⊥平面ACD．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)由(1)知分别以CD→、CA→为x轴、z轴正方向．以过C平行DE→为y轴正向建立坐标系．则B(1,1,0)，A(0,0，2)，D(2,0,0)，E(2,1,0)∴AB→＝(1,1，－2)，AD→＝(2,0，－2)，DE→＝(0,1,0)设平面ABD法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1·AB→＝n1·AD→＝0解得n1＝(1,1，2)第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1设平面ADE法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·DE→＝n2·AD→＝0解得：n2＝(1,0，2)设平面ABD与平面ADE夹角为θ，cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋0＋24×3＝32∴平面ABD与平面ADE的二面角平面角为π6.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[总结反思]本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法．在判断空间中直线位置关系时，常用勾股定理逆定理来证明线线垂直；求二面角的平面角是高考重点，可用空间向量来解决．还有面积法、异面直线法，作三垂线定理法等要灵活应用．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如下图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB︵的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[证明]解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD．又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC．第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC，又PA面PAC，所以PA⊥OH.在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接HG，则有PA⊥平面OGH.从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝22.在Rt△POD中，OH＝PO·ODPO2＋OD2＝2×222＋12＝105.第二章2.5成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1在Rt△POA中，OG＝PO·OAPO2＋OA2＝2×12＋1＝63.在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHO