2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件第2章空间向量与立体几何26距离的计算

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1空间向量与立体几何第二章第二章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12.6距离的计算第二章第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课前自主预习第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间某一平面内点到直线的距离问题．如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA→在s上的投影的大小|PA→·s0|(|s0|＝1)等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝____________________.|PA→|2－|PA→·s0|2第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．点到面的距离如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．而向量PA→在n上的投影的大小___________________等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝___________________.|PA→·n0|(|n0|＝1)|PA→·n0|第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1知识要点解读第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．点线距(1)已知一点P和一个向量s确定的直线l，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤为：①计算斜向量PA→；②计算PA→在向量s上的投影PA→·s0；③根据勾股定理，计算d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)已知由几何条件确定的直线l，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤为：①找到直线l的方向向量s；②在直线l上任取一点P；③计算斜向量PA→；④计算PA→在向量s上的投影PA→·s0；⑤计算点A到直线l的距离d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.(3)点到直线的距离的计算方法有：①找垂线段并求其长；②利用等面积法．第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．点面距(1)已知一点P和一个过点P且垂直向量n的平面π，那么空间一点A到平面π的距离的算法步骤为：①计算斜向量PA→；②计算PA→在向量n上的投影PA→·n0(|n0|＝1)；③计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)已知由几何条件确定的平面π，那么空间一点A到平面π的距离的算法步骤为：①找到平面π的法向量n；②在平面π上任取一点P；③计算PA→在向量n上的投影PA→·n0(|n0|＝1)；④计算点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.(3)点到面的距离的计算方法有：①确定面的垂线段；②利用等积变换法．第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．直线到平面的距离和平面到平面的距离(1)直线到平面的距离当直线与平面平行时，直线上任一点到该平面的距离，叫直线到平面的距离．求直线到平面的距离时，一般转化为点到面的距离．求直线到平面的距离第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则AC→∥n，∵AB→·n＝(AC→＋CB→)·n＝AC→·n，∴|AB→·n|＝|AC→|·|n|.∴直线a到平面α的距离d＝|AC→|＝|AB→·n||n|.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1(2)平面到平面的距离当两平面平行时，一个平面内任一点到另一平面的距离，叫平面到平面的距离．求平面到平面的距离时，一般也是转化成点到面的距离．求两平行平面间的距离①用公式d＝|AB→·n||n|求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意两点．②转化为点面距或线面距求解．第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1预习效果检测第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-11．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且l经过点A(2,3,1)，则点P(－2,1,4)到直线l的距离为()A．32B．22C．2D．722[答案]D第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-12．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则P(1,2－2)到α的距离为()A．55B．5C．25D．510[答案]A[解析]∵PA→＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝|PA→·n||n|＝|－4＋3|5＝55.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-13．如右图，空间四边形ABCD的各边及两对角线的长均为m，则点A到平面BCD的距离是()A．63mB．53mC．36mD．35m[答案]A[解析]设点A′是点A在平面BCD上的射影，分别连结A′B、A′C、A′D，如图．由于AB＝AC＝AD，第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1所以它们在平面BCD上的射影A′B、A′C、A′D也都相等，所以点A′是△BCD的中心．因为BC＝m，所以△BCD的高为32m.所以A′D＝33m.在Rt△AA′D中，|AA′|＝AD2－A′D2＝63m，即点A到平面BCD的距离为63m.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-14．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()A．83B．38C．43D．34[答案]C第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]如图，建立空间直角坐标系，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AD1→＝0，n·AB1→＝0，解得x＝2z，且y＝－2z.不妨设n＝(2，－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为h，则h＝|AA1→·n|n||＝43.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-15．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A．66aB．36aC．34aD．63a[答案]A第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1课堂典例讲练第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝1，AA′＝2，求点B到直线A′C的距离．[分析]可利用坐标向量法求出点B到直线A′C的距离．[解析]画出空间直角坐标系如图，求点到直线的距离第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1因为AB＝1，BC＝1，AA′＝2，所以A′(0,0,2)，C(1,1,0)，B(1,0,0)．计算直线A′C的方向向量A′C→＝(1,1，－2)；找到直线A′C上一点C(1,1,0)；求点B(1,0,0)到直线A′C上一点C(1,1,0)的向量BC→＝(0,1,0)；第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1BC→在A′C→上的投影为BC→·A′C→|A′C→|＝0，1，0·1，1，－212＋12＋－22＝16；所以点B到直线A′C的距离为d＝|BC→|2－|BC→·A′C→|A′C→||2＝1－16＝56＝306.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为()A．322B．22C．102D．2[答案]A[解析]PA→＝(－2,0，－1)，|PA→|＝5，PA→·n|n|＝－12，点P到直线l的距离为d＝|PA→|2－|PA→·n|n||2＝5－12＝322.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且|GC|＝2，求点B到平面EFG的距离．[分析]在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解．还可利用等积法求解．点面距第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1[解析]解法一：(转化法)连接AC，BD交于点O，设AC与EF交于H，连接GH，GO，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD．∵BD平面GEF，∴BD∥平面GEF.∴点B到平面EFG的距离即为点O到平面EFG的距离．第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵GC⊥平面ABCD，又EF平面ABCD，∴GC⊥EF，∴EF⊥平面GCH.∵EF面GEF，∴平面GEF⊥平面GCH.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1过O点作OM⊥GH于M，则OM⊥平面GEF，因此OM是O点到平面GEF的距离，也等于B点到平面GEF的距离．∵正方形ABCD边长为4，∴|CH|＝34|AC|＝34×42＝32.∵|GC|＝2，且GC⊥CA，∴|GH|＝4＋18＝22.∵Rt△OMH∽Rt△GCH，∴|OM||OH|＝|GC||GH|，∴|OM|＝21111.∴点B到平面EFG的距离为21111.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1解法二：(等体积法)连接BG，BF，可知VG－BEF＝VB－GEF，∵E为AB的中点，∴S△BEF＝12S△ABF＝12×12×2×4＝2.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1连接AC交EF于H，连接GH，∵EF⊥AC，GC⊥EF，∴EF⊥平面GCH，∴EF⊥GH.∵|GC|＝2，|AC|＝42，∴|CH|＝34×42＝32，∴|GH|＝GC2＋CH2＝4＋18＝22.∴S△GEF＝12×|EF|×|GH|＝12×22×22＝211.设点B到平面GEF距离为h由VG－BEF＝VB－GEF，得13×|GC|×S△BEF＝13×h×S△GEF，第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1∴13×2×2＝13×h×211，解得h＝21111.∴B点到平面GEF的距离为21111.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1解法三：(向量法)如图所示，以C为原点，分别以CD、CB、CG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴GF→＝(4,2，－2)，EF→＝(2，－2,0)，设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·GF→＝0n·EF→＝0⇒2x＋y－z＝0x－y＝0⇒y＝x，z＝3x.第二章2.6成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·选修2-1令x＝1，得n＝(1,1,3)．又GB→＝(0,4，－2)，∴点B到平面GEF的距离d＝|CB→