2015-2016学年高中数学第一章集合与函数概念本章回顾课件新人教A版必修1

第一章集合与函数概念本章回顾知识网络规律方法总结1.在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”．2．在集合运算中必须注意组成集合的元素及元素应具备的性质．3．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．4．当集合中含有参数时，须对参数进行分类讨论，分类时要不重不漏．5．函数相同的判定方法：①定义域相同；②对应关系相同(二者缺一不可)．6．函数定义域的求法求函数的定义域，就是求函数解析式有意义的自变量的取值范围．列出不等式或不等式组求其解集，具体要求：(1)分式中分母不为零；(2)偶次根式中被开方数非负；(3)由实际问题确定的函数，其定义域要使实际问题不失去意义．7．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)图象法：作出函数的图象，观察图象得到值域；(3)单调性法：利用函数的单调性求值域；(4)配方法：把函数配方，利用二次函数的性质求出值域；(5)换元法：通过换元，将所给函数化为易于求值域的函数；但要注意换元后新变量的取值范围；(6)分离常数法：多用于有理分式，即将有理分式变形，转化为“整式与反比例函数类和”的形式，便于求值域．8．函数单调性的判断步骤(1)在区间内任取两个自变量的值x1，x2，并且规定其大小关系，如x1x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，变形(配方，因式分解等)确定符号；(3)给出结论．注意求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．当函数的单调区间不止一个时，中间不能用符号“∪”连接．9．函数奇偶性的判断步骤(1)先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；(2)若函数的定义域关于原点对称，再用奇偶性的定义严格判定.数学思想1.数形结合的思想在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即把数量关系转化为图形的性质来确定，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究．【例1】已知集合A＝{x|－2x4}，B＝{x|x－a0}．(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；(2)若AB，求实数a的取值范围．【分析】(1)A∩B＝∅其实质是A与B无公共元素；(2)AB说明了A是B的真子集，明确了上述关系，只要借助数轴即可得到答案．【解】∵A＝{x|－2x4}，B＝{x|xa}．在数轴上将集合A表示出来，如下图所示，由图可知：(1)若A∩B＝∅，则a≤－2；(2)若AB，则a≥4.【例2】集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，AS，BS，且A∩B＝{4,5}，(∁SB)∩A＝{1,2,3}，(∁SA)∩(∁SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.【分析】这类集合问题比较抽象，关系较复杂，而解题时若借助韦恩图进行数形分析，采取数形结合的思想方法，则可以将问题直观化、形象化，从而使问题快速、准确地获解，此题如下图．【解】如上图所示，∵A∩B＝{4,5}，∴将4,5写在A∩B中．∵(∁SB)∩A＝{1,2,3}，∴将1,2,3写在A中．∵(∁SB)∩(∁SA)＝{6,7,8}，∴将6,7,8写在S中A，B之外．∵(∁SA)∩A与(∁SB)∩(∁SA)中均无9,10，∴9,10在B中．故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．规律技巧与整数有关的有限集的交、并、补集运算，借助韦恩图，既直观清晰又简便．2．分类讨论的思想利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系．解分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，相当于增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．【例3】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若A中只有一个元素时，求a的值；(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【解】(1)应根据a是否为0分两种情况进行讨论：①a＝0，此时A＝－12，符合题意；②a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1.∴a＝0，或a＝1.(2)A中至多有一个元素，也包括两种情形：①A中有一个元素，由(1)知a＝0，或a＝1；②A中没有元素，此时应有a≠0，Δ＝4－4a0，得a1.∴a的取值范围是a≥1，或a＝0.规律技巧分类讨论在中学数学中有着极其重要的地位，在今后的学习中，经常用到分类讨论思想解决问题.要体会为什么要分类讨论，分类的标准是什么，如何做到不重复、不遗漏.【例4】设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【分析】画出函数f(x)的图象，利用运动的观点对t分类讨论，求得g(t)的表达式．【解】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.①当t＋1≤1，即t≤0时，由下图知，截取减区间上的一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.②当t≤1t＋1，即0t≤1时，恰巧将顶点截取在内，则g(t)＝f(1)＝1(见下图)．③当t1时，由下图知，截取增区间上的一段，则g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上可知：g(t)＝t2＋1t≤0，10t≤1，t2－2t＋2t1.规律技巧从运动的观点来看，令区间[t，t＋1]从左向右沿x轴正方向运动，截取抛物线上的相应三部分，减函数部分，包含对称轴部分，增函数部分，对应三种情况画三个图象，使问题直观清晰．3．等价转化的思想数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，这是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题予以解决．【例5】已知f(x)＝x5＋ax3－bx－8，f(－2)＝10，求f(2)的值．【分析】从函数f(x)结构特征来看，该问题可转化为函数的奇偶性来解．【解】令g(x)＝x5＋ax3－bx，则g(x)是奇函数，此时g(－2)＝－g(2)，于是f(－2)＝g(－2)－8，∴g(－2)＝f(－2)＋8＝18.∴f(2)＝g(2)－8＝－g(－2)－8＝－18－8＝－26.【例6】已知定义域为(－2,2)的奇函数y＝f(x)是增函数，且f(a－3)＋f(9－2a)0，求a的取值范围．【分析】求a的取值范围，实际上就是求不等式f(a－3)＋f(9－2a)0的解．而该不等式含有运算法则f，需要根据题设，去掉f，转化为普通的不等式求解．【解】∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(a－3)＋f(9－2a)0⇒f(a－3)－f(9－2a)＝f(2a－9)．又f(x)在(－2,2)上为增函数，∴－2a－32，－29－2a2，a－32a－9，⇒1a5，72a112，a6，⇒72a5.∴a的取值范围是(72，5)．4．函数与方程的思想函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程的思想是指将问题转化为方程或方程组，通过对方程或方程组的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y＝f(x)可以看作方程y－f(x)＝0，函数有意义则方程有解；方程有解，则函数有意义．函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一．【例7】设f(x)＝x2＋bx＋cx≤0，2x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，得16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，∴b＝4，c＝2.∴当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1，或x＝－2.当x0时，f(x)＝2＝x，∴x＝2.∴f(x)＝x的解的个数为3，应选C.【答案】C误区警示在函数转化为方程的过程中审题不清，丢掉x＝2这个解，错选B.【例8】已知函数f(x)＝x－ax2＋bx＋1是奇函数，求实数a，b的值．【分析】一种思路是利用奇函数的定义，即f(－x)＝－f(x)恒成立解答；另一种思路是赋值法，列方程(组)解答．【解】解法一：∵函数f(x)是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即x－ax2＋bx＋1＋－x－ax2－bx＋1＝0恒成立．化简得2(a＋b)x2＋2a＝0对一切实数x恒成立，∴a＝b＝0.解法二：由题意知，f(0)＝0，得a＝0.∴f(x)＝xx2＋bx＋1.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，得b＝0.规律技巧对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0.基本方法1.配方法【例9】求下列函数的值域．(1)y＝2x2－3x－1，x∈(1，＋∞)；(2)y＝x2＋1x2＋8(x≠0)．【解】(1)∵y＝2x2－3x－1＝2x－342－178，又∵x1，又f(x)在(1，＋∞)上为增函数，且f(1)＝－2，∴值域为(－2，＋∞)．(2)∵y＝x2＋1x2＋8＝x－1x2＋10，∴y≥10.故值域为[10，＋∞)．规律技巧对于二次函数求值域常用配方法．2．分离常数法【例10】求函数y＝3x－1x＋1的值域．【解】y＝3x－1x＋1＝3x＋1－4x＋1＝3－4x＋1.∵4x＋1≠0，∴y≠3.∴值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．3．换元法【例11】求函数y＝x＋1－2x－1的最大值．【解】设1－2x＝t，则x＝12(1－t2)，t≥0.∴y＝12(1－t2)＋t－1＝－12t2＋t－12＝－12(t－1)2，t≥0.∵y＝－12(t－1)2在[0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，∴当t＝1时，y取得最大值0.∴函数y＝x＋1－2x－1的最大值为0.规律技巧形如y＝ax＋bx＋c的函数求最值常用换元法.令t＝bx＋c，将原函数转化为二次函数，再求最值.换元后要注意新变量的取值范围.4．待定系数法【例12】求一个一次函数，使得f{f[f(x)]}＝x＋6.【解】设一次函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，f{f[f(x)]}＝a(a2x＋ab＋b)＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b.由已知有a3x＋b(a2＋a＋1)＝x＋6，∴a3＝1，ba2＋a＋1＝6，解之得a＝1，b＝2.故所求一次函数为f(x)＝x＋2.5．赋值法【例13】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为0的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则ff52的值是()A．0B.12C．1D.52解析∵xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，①又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴xf(x＋1)＝(1＋x)f(－x)．②令x＝0代入①，得f(0)＝0；令x＝－12代入②，得－12f12＝12f12，∴f12＝0；再令x＝12代入①，得12f32＝32f12，∴f32＝0；再令x＝32代入①，得32f52＝52f32，∴f52＝0.∴ff52＝f(0)＝0.故选A.规律技巧对于抽象函数问题常用赋值法解决．