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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·选修1-11-2第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2推理与证明第二章第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2数学中常用证明方法有以下几种方法：1．比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)．2．综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”．第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-23．分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．4．反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-25．换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-22.1合情推理和演绎推理第1课时合情推理第二章第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课前自主预习第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2相传，春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木工的祖师)一次去林中砍树时，不小心被一株茅草割破了手，他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的齿，他的手就是被这些小齿割破的．鲁班想，要是用这样齿状的工具，不是也能很快锯断树木了吗？他经过多次试验，终于发明了锯子，大大提高了工效．锯子的发明蕴含着怎样的思维过程？第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-21.在数列{an}中a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N＋，猜想这个数列的通项公式．2．上题用到哪种推理方法？答案：1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想an＝2n＋1，n∈N＋.2．不完全归纳法第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2一推理1．定义：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．2．推理的结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；另一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论．3．推理的形式：推理的一般形式为前提⇒结论．例如，在推理“a∥b，b∥c，则a∥c”中，“a∥b，b∥c”是推理的前提，“a∥c”是推理的结论．4．推理的分类：推理一般分为合情推理与演绎推理两种．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2观察如图所示图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()AB．△C．▭D．○[答案]A[解析]因前两行两列中每一行、每一列各有两个黑图，故应选黑图；从黑图排列不重复看应选A.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2二合情推理1．定义：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理，合情推理的结论可能为真，也可能为假．2．数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N，下列说法中正确的是()A．f(n)可以为偶数B．f(n)一定为奇数C．f(n)一定为质数D．f(n)必为合数[答案]B[解析]∵f(n)＝n(n＋1)＋21，n(n＋1)是偶数，∴n(n＋1)＋21是奇数．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2三归纳推理1．定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．即：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”，得出“一切金属都能导电”．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第100项的值是()A．13B．14C．15D．16[答案]B[解析]∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝13×13＋12＝91，∴第100项的值是14.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2四类比推理1．定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为________．[答案]1:8[解析]由题意知在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方．由类比推理可得体积比是棱长比的立方，即可得它们的体积比为1:8.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2五归纳推理的常见方法1．善于观察，寻找规律观察是实现归纳推理的一般途径，尤其是对于图形推理问题．2．列举分析，寻找规律列举出特殊的几项(一般是前几项)进行分析、寻找规律是解决具有递推关系、周期性等归纳问题的有效途径．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为_________________________．[答案](n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析]从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2六几种常见类比1．类比定义关键要找出两个概念的相似性和不同点，得出结论的异同．2．类比性质关键要深刻理解已知性质的内涵与外延及应用，通过类比得出新性质．3．类比解题方法(或公式)关键在解题方法(或公式)中，获得方法(或公式)的来源及原理和应用方法，从而指导解决新问题．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-24．范例比较对有些提供了范例的推理题，应根据所给的信息与所求的问题之间的相似性，运用类比的方法，依照范例，使问题解决．例如：将平面几何中的性质定理类比推理到三维空间，类比如下：平面几何点线角边长…立体几何线面二面角面积…第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”，OA′AA′＋OB′BB′＋OC′CC′＝S△OBCS△ABC＋SOCAS△ABC＋S△OABS△ABC＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并证明.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析]在四面体V－BCD中任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别交四个面于E，F，G，H点，则OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O－BCD与V－BCD中，OEVE＝h1h＝13S△BCD·h113S△BCD·h＝VO－BCDVV－BCD.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2同理，OFDF＝VO－VBCVD－VBC，OGBG＝VO－VCDVB－VCD，OHCH＝VO－VBDVC－VBD，∴OEVE＋OFDF＋OGBG＋OHCH＝VO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBDVV－BCD＝VV－BCDVV－BCD＝1.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2课堂典例探究第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2归纳推理在数列中的应用已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N＋)，(1)求a2，a3，a4；(2)推测数列{an}的通项公式．[解题提示]由递推关系求出a2，a3，a4后观察a1，a2，a3，a4的特征，找出an与n的关系，归纳猜想an的表达式．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析](1)由a1＝1，an＋1＝2anan＋2得a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝25.(2)由(1)可得a1＝23，a2＝23，a3＝24，a4＝25.由此猜想：an＝2n＋1(n∈N＋)．[方法总结]归纳猜想an，Sn的表达式时，关键是找出项与序号n的关系，从中发现规律，归纳出an与Sn的表达式．第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：(1)1,5,9,13,17，()；(2)23，1,112，214，338，()；(3)34，58，12，922，1132，()；(4)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.[答案](1)21(2)5116(3)1344(4)8,21第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2[解析]要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．(1)考察相邻两数的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.第二章2.1第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教B版·数学·选修1-11-2(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，