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1习题课电磁感应中的动力学和能量问题[目标定位]1.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的动力学问题.2.会分析电磁感应中的能量转化问题．1．闭合回路的磁通量发生变化时，根据法拉第电磁感应定律E＝nΔΦΔt，计算电动势大小，根据楞次定律判定电动势方向．当导体做切割磁感线运动时E＝Blv，感应电动势方向由右手定则判断．2．垂直于匀强磁场放置、长为L的直导线通过的电流为I时，它所受的安培力F＝BIL，安培力方向的判断用左手定则．3．牛顿第二定律：F＝ma，它揭示了力与运动的关系．当加速度a与速度v方向相同时，速度增大，反之速度减小，当加速度a为零时，速度达到最大或最小，物体做匀速直线运动．4．做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度．几种常见的功能关系(1)合外力所做的功等于物体动能的变化．(动能定理)(2)重力做的功等于重力势能的变化．(3)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化．(4)除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能的变化．(5)安培力做的功等于电能的变化．5．焦耳定律：Q＝I2Rt.一、电磁感应中的动力学问题1．具有感应电流的导体在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．(2)求回路中的感应电流的大小和方向．(3)分析导体的受力情况(包括安培力)．2(4)列动力学方程或平衡方程求解．2．电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键是要抓好受力情况和运动情况的动态分析：周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到稳定运动状态．3．两种状态处理导体匀速运动，受力平衡，应根据平衡条件列式分析；导体做匀速直线运动之前，往往做变加速运动，处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律结合功能关系分析．例1如图1所示，空间存在B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2m，电阻R＝0.3Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1kg、电阻r＝0.1Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：图1(1)导体棒所能达到的最大速度；(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图象．解析ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动的速度增大，棒中的感应电动势增大，棒中感应电流增大，棒受到的安培力也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达到最大值．外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热．(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：E＝BLv①I＝ER＋r②导体棒受到的安培力F安＝BIL③棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律：F－μmg－F安＝ma④3由①②③④得：F－μmg－B2L2vR＋r＝ma⑤由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．此时有F－μmg－B2L2vmR＋r＝0⑥可得：vm＝F－μmgR＋rB2L2＝10m/s⑦(2)棒的速度—时间图象如图所示．答案(1)10m/s(2)见解析图例2如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．图2(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．解析(1)如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安．4(2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中的电流I＝ER＝BLvRab杆受到安培力F安＝BIL＝B2L2vR根据牛顿第二定律，有ma＝mgsinθ－F安＝mgsinθ－B2L2vRa＝gsinθ－B2L2vmR.(3)当a＝0时，ab杆有最大速度：vm＝mgRsinθB2L2.答案(1)见解析图(2)BLvRgsinθ－B2L2vmR(3)mgRsinθB2L2例3图3如图3所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距为0.2m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4s时，突然闭合开关S，则：(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；(2)导体ab匀速下落的速度是多少？(g取10m/s2)解析(1)闭合S之前导体自由下落的末速度为：v0＝gt＝4m/s.S闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab立即受到一个竖直向上的安培力．F安＝BIL＝B2L2v0R＝0.016N＞mg＝0.002N.此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为5a＝F安－mgm＝B2L2vmR－g，所以ab做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动．当速度减小至F安＝mg时，ab做竖直向下的匀速运动．(2)设匀速下落的速度为vm，此时F安＝mg，即B2L2vmR＝mg，vm＝mgRB2L2＝0.5m/s.答案(1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动(2)0.5m/s二、电磁感应中的能量问题1．电磁感应现象中的能量守恒电磁感应现象中的“阻碍”是能量守恒的具体体现，在这种“阻碍”的过程中，其他形式的能转化为电能．2．电磁感应现象中的能量转化方式外力克服安培力做功，把机械能或其他形式的能转化成电能；感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能．若电路是纯电阻电路，转化过来的电能也将全部转化为电阻的内能(焦耳热)．3．求解电磁感应现象中能量问题的一般思路(1)确定回路，分清电源和外电路．(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：①有摩擦力做功，必有内能产生；②有重力做功，重力势能必然发生变化；③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能．(3)列有关能量的关系式．4．电磁感应中焦耳热的计算技巧(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.(2)感应电流变化，可用以下方法分析：①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他．例4如图4所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为θ，导轨下端接有电阻R，匀强磁场垂直斜面向上．质量为m、电阻不计的金属棒ab在沿斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为h，在这个过程中()6图4A．金属棒所受各力的合力所做的功等于零B．金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh和电阻R上产生的焦耳热之和C．恒力F与重力的合力所做的功等于棒克服安培力所做的功与电阻R上产生的焦耳热之和D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热解析棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力F做正功、重力G做负功、安培力F安做负功．根据动能定理：W＝WF＋WG＋W安＝0，故A对，B错；恒力F与重力G的合力所做的功等于棒克服安培力做的功．而棒克服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为焦耳热)的增加量，克服安培力做功与焦耳热不能重复考虑，故C错，D对．答案AD例5如图5所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L＝0.5m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度B＝1T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g，电阻为1Ω，现让MN无初速度释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放直至到最大速度的过程中通过棒某一截面的电荷量为2C，求此过程中回路产生的电能为多少？(空气阻力不计，g＝10m/s2)图5解析金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得mg＝B2L2vmR①在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得mgh＝12mv2m＋E②通过棒某一横截面的电荷量为7q＝BhLR③由①②③解得：E＝mgh－12mv2m＝mgRqBL－m3g2R22B4L4＝0.1×10×1×21×0.5J－0.13×102×122×14×0.54J＝3.2J答案3.2J电磁感应中的动力学问题1．如图6所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框．在导线框右侧有一宽度为d(dL)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，可能正确描述上述过程的是()图6答案D解析根据题意，线框进入磁场时，由右手定则和左手定则可知线框受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，v减小，由F安＝B2L2vR，则安培力减小，故线框做加速度减小的减速运动；由于d＞L，线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受安培力作用，线框做匀速直线运动，同理可知线框离开磁场时，线框也受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，做加速度减小的减速运动．综上所述，正确答案为D.2．如图7所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长，两轨道间的宽度L＝0.50m．轨道左端接一阻值R＝0.50Ω的电阻．轨道处于磁感应强度大小为B＝0.40T，方向竖直向下的匀强磁场中，质量m＝0.50kg的导体棒ab垂直于轨道放置．在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开始运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直，不计轨道和导体棒的电阻，不计空气阻力，若力F的大小保持不变，且F＝1.0N，求：8图7(1)导体棒能达到的最大速度大小vm；(2)导体棒的速度v＝5.0m/s时，导体棒的加速度大小．答案(1)12.5m/s(2)1.2m/s2解析(1)导体棒达到最大速度vm时受力平衡，有F＝F安m，此时F安m＝B2L2vmR，解得vm＝12.5m/s.(2)导体棒的速度v＝5.0m/s时，感应电动势E＝BLv＝1.0V，导体棒上通过的感应电流大小I＝ER＝2.0A，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝0.40N，根据牛顿第二定律，有F－F安＝ma，解得a＝1.2m/s2.电磁感应中的能量问题3．如图8所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的下端接有电阻．当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒ab以平行导轨平面的初速度v0冲上导轨，ab上升的最大高度为H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使ab以相同的初速度从同一位置冲上导轨，ab上升的最大高度为h，两次运动中ab始终与两导轨垂直且接触良好，关于上述情景，下列说法中正确的是()图8A．比较两次上升的最大高度，有H＝hB．比较两次上升的最大高度，有H＜hC．无磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生D．有磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生答案D解析没有磁场时，只有重力做功，机械能守恒，没有电热产生，C错误；有磁场时，ab切割磁感线产生感应电流，重力和安培力均做负功，机械能减小，有电热产生，故ab上升的最大高度变小，A、B错误，D正确.(时间：60分钟)9题组一电磁感应中的动力学问题1．如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab