2015-2016学年高二人教版数学必修5课件1-2-2测量高度角度问题

第1页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第一章解三角形第2页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5§1.2应用举例第3页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第二课时测量高度、角度问题课前预习目标课堂互动探究第4页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前预习目标梳理知识夯实基础第5页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5自学导引1.巩固正弦定理、余弦定理等知识．2．能够用正弦、余弦定理等知识和方法求解高度和角度问题.第6页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前热身1.仰角和俯角．在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图所示．第7页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．把指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角叫方位角．如图所示．第8页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5名师讲解1.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个选定的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．第9页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．角的测量问题要测量角的大小，可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题．第10页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课堂互动探究剖析归纳触类旁通第11页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5测量高度问题一【例1】如图，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD＝110°，又在B点测得∠ABD＝40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)典例剖析第12页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【分析】要求CD的高，只需求AD的长，在△ABD中，已知AB，∠ABD，∠BAD，可由正弦定理求得．第13页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】在△ABD中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°，由正弦定理，得AD＝ABsinBsin∠ADB＝800×sin40°sin30°≈1028.5(m)．在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°≈480(m)．答：山高约为480m.第14页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧本例是计算高度问题，由于塔高、山高无法直接求得，因此放在一个直角三角形中求解，而所用边长利用正弦定理在另一个三角形中求解.第15页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5测量角度问题二【例2】如图，当甲船位于A处时获悉在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°)第16页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】连接BC，如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠BAC＝120°，由余弦定理，知第17页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝202＋102－2×20×10×－12＝700.∴BC＝107.由正弦定理ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝20107·sin120°＝217，∴∠ACB≈41°.∴乙船应沿北偏东30°＋41°＝71°的方向沿直线前往B处救援．第18页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧本题主要考查解斜三角形的有关知识，重点在于正弦定理及余弦定理，正确理解方位角的概念是解题关键．第19页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5易错探究某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？第20页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【错解】如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得第21页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.∴在△ACD中，ACsin180°－β＝21sin60°＝2132.∴AC＝21×23×437＝24.第22页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°.即212＝242＋AD2－2×24×12·AD.整理得AD2－24AD＋135＝0.解得AD＝15，或AD＝9.∴这个人再走15千米或9千米就可到达A城．第23页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【错因分析】从本题实际考虑，应有一解．本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，然而哪个是增解呢？很难判断，若本题应用正弦定理来解，就可以避免增解．第24页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【正解】要求这人走多远可到达A城，也就是要求AD的长．在△ACD中，已知CD＝21千米，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．第25页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得cosβ＝BD2＋CD2－CB22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sinβ＝437.而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ第26页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD中，21sin60°＝ADsinα，∴AD＝21×sinαsin60°＝15(千米)．∴这个人再走15千米就可到达A城．第27页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5随堂训练1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°第28页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解析如图所示，α与β为内错角，∴α＝β.答案B第29页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．若点P在点Q北偏东45°30′，则点Q在点P的()A．东偏北44°30′B．东偏北45°30′C．南偏西44°30′D．西偏南44°30′第30页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解析如图所示，点Q在点P西偏南44°30′.答案D第31页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修53．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°第32页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解析如图所示，又AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，∴点A在点B的北偏西10°.故选B.答案B第33页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修54．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80°.试计算东方明珠塔的高度．(精确到1m)第34页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解由于∠CAD＝75.5°，∠CBD＝80°，∴∠ACB＝4.5°.在△ABC中，由于ABsin∠ACB＝BCsinA，∴BC＝AB·sinAsin∠ACB＝38.5·sin75.5°sin4.5°.∴CD＝BC·sin80°＝38.5×sin75.5°sin4.5°·sin80°≈468(m)．答：东方明珠塔的高度为468m.