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第1页（共15页）2015-2016学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上1．2sin15°cos15°=．2．经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为．3．在等差数列{an}中，已知a1=3，a4=5，则a7等于．4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为．5．不等式＞3的解集是．6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是．7．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．9．记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3，则数列{an}的第6项a6=．10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是．11．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ12．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是．第2页（共15页）13．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则+的最小值是．14．已知等差数列{an}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{an}的所有项之和为S，若a12+S≤96，则数列{an}至多有项．二、解答题:本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．（1）求过点A且平行于l的直线的方程；（2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．16．（1）已知cosα=，α为锐角，求tan2α的值；（2）已知sin（θ+）=，θ为钝角，求cosθ的值．17．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD1的中点，Q为BC的中点（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求证：DQ⊥平面B1BCC1．18．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2．（不计木料的粗细与接头处损耗）（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？19．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于，D为边长BC上一点．（1）求BC的长；（2）当AD=时，求cos∠CAD的值．第3页（共15页）20．记等比数列{an}前n项和为Sn，已知a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=3，bn+1﹣3bn=3an，求数列{bn}的前n项和Bn；（3）删除数列{an}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为{cn}，{cn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，都有＞a，试求实数a的最大值．第4页（共15页）2015-2016学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上1．2sin15°cos15°=．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据式子的特点直接代入倍角的正弦公式求解即可．【解答】解：原式=sin30°=，故答案为：．2．经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】直接利用直线的两点式方程求解即可．【解答】解：经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为：，即2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0．3．在等差数列{an}中，已知a1=3，a4=5，则a7等于7．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式先求出公差，由此能求出第7项．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1=3，a4=5，∴3+3d=5，解得d=，∴a7=3+6×=7．故答案为：7．4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为2．【考点】直线的截距式方程．【分析】将直线方程化为斜截式，根据条件列出方程求出m的值．【解答】解：由x﹣2y+m﹣1=0得，y=x+，∵直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，第5页（共15页）∴=，解得m=2，故答案为：2．5．不等式＞3的解集是（0，）．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．【解答】解：由得，则x（1﹣3x）＞0，即x（3x﹣1）＜0，解得，所以不等式的解集是（0，），故答案为：（0，）．6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是[0，]．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l不经过第四象限，得到x≤0，y≥0，求出k的最小值，经过原点时k最大，求出k的最大值，则实数k的取值范围可求．【解答】解：∵直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则x≤0，y≥0，∴k的最小值为kmin=0，经过原点时k最大，∴k的最大值为kmax==，则实数k的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．7．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为5π．【考点】由三视图求面积、体积．第6页（共15页）【分析】由题意判断形成的几何体是组合体：上面半球、下面是圆柱，由球和圆柱的表面积公式求出形成的几何体的表面积．【解答】解：由题意知，形成的几何体是组合体：上面半球、下面是圆柱，∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE=90°，∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1、母线长是1，∴形成的几何体的表面积S==5π，故答案为：5π．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值．【解答】解：∵2csinA=atanC，∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，则2sinCsinA=sinA•，由sinCsinA≠0得，cosC=，∵0＜C＜π，∴C=，故答案为：．9．记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3，则数列{an}的第6项a6=96．【考点】数列递推式．【分析】当n≥2时通过Sn=2an﹣3与Sn﹣1=2an﹣1﹣3作差，进而整理可知数列{an}是首项为3、公比为2的等比数列，计算即得结论．【解答】解：∵Sn=2an﹣3，∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣3，两式相减，得：an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，又∵S1=2a1﹣3，即a1=3，∴数列{an}是首项为3、公比为2的等比数列，∴a6=3×26﹣1=96，故答案为：96．10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是．第7页（共15页）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出A到平面BC1的距离等于，利用三棱锥的体积公式，求出三棱锥A﹣CPC1的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，∴A到平面BC1的距离等于，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，∴三棱锥A﹣CPC1的体积是=．故答案为：．11．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是①④（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：①∵若m∥α，且m∥n，分两种情况：n在α内或不在，则m∥α或m⊂α故正确；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，m，n相交，则α∥β，故不正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；④由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，因为m⊥α，所以m⊥γ，故正确．故答案为：①④．12．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是（﹣2，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质得到（x+1）（x﹣2）＜4，解出即可．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴x2+bx+c=（x+1）（x﹣2），x2+bx+c＜4，即（x+1）（x﹣2）＜4，解得：﹣2＜x＜3，∴不等式的解集是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．第8页（共15页）13．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则+的最小值是9．【考点】基本不等式．【分析】先将点P的坐标代入直线方程中，建立a与b的关系，再用1的代换，展开后利用基本不等式可达到目的．【解答】解：将点P的坐标代入直线方程中，得a+2b﹣1=0，即（a+b）+b=1．∵P为第一象限内的点，∴a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴+=（+）（a+b+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=时，取等号，∴+的最小值是9．故答案为：9．14．已知等差数列{an}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{an}的所有项之和为S，若a12+S≤96，则数列{an}至多有12项．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式，结合一元二次不等式的解法与步骤，利用判别式列出不等式，求出解集即可．【解答】解：等差数列{an}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{an}的所有项之和为S，∴Sn=na1+n（n﹣1）d=na1+n（n﹣1）；又a12+S≤96，∴+na1+n（n﹣1）≤96，即+na1+（n2﹣n﹣96）≤0；∴△=n2﹣4（n2﹣n﹣96）≥0，即3n2﹣4n﹣384≤0，解得﹣≤n≤12；∴数列{an}至多有12项．故答案为：12．二、解答题:本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．（1）求过点A且平行于l的直线的方程；（2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．【考点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．第9页（共15页）【分析】（1）法一：求出直线的斜率，代入点斜式方程即可；法二：根据直线的平行关系设所求直线方程是：x﹣2y+c=0，将A（2，4）代入直线方程求出c的值即可；（2）根据直线的垂直关系求出所求直线的斜率，代入点斜式方程即可求出直线方程，联立方程组，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）法一：直线l：x﹣2y+1=0的斜率是，故所求直线的斜率是，故所求直线方程是：y﹣4