2015-2016计算方法C中期考试试卷讲评

12015－2016学年第(2)学期中期考试试卷讲评一、填空题1、数值x*的近似值x=0.121510-2,若x有4位有效数字，则。2、sin1的有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是()。3、要求计算园面积S的相对误差限为0.04，则测量其半径r的相对误差限最大可为(0.02)。4、如果用二分法求方程在区间[1，2]的根，精确到三位小数，需要对分(10)次。5、设迭代格式收敛于方程的根x*，设误差，若迭代格式是P（1）阶收敛的，则存在常数C0，使（）成立。6、向量，矩阵,则=(4),=(90)。7、解线性方程组x=Bx+f的迭代格式为，其迭代矩阵B的谱半径(B)1是迭代格式收敛的充要条件，矩阵B的某种范数||B||1是迭代格式收敛的充分条件。8、设矩阵A是对称正定矩阵，则用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组Ax=b是收敛的。二、1、证明证明：因为：，所以结论成立。2、取的6位有效数字9.94987，则以下两种算法各有几位有效数字？①②2解：因为：的精确值为：所以与其精确值的绝对误差满足:,故有4位有效数字。又因为与其精确值绝对误差满足：所以有7位有效数字。三、1、分析方程：有几个根；2、用迭代法求其最小正根（精确至5位有效数字），并说明所用迭代格式为什么是收敛的。解：1、令，则f(x)的定义域为：令,得其零点：，负根舍去。又当时，,即单调递减，而所以方程在内无根。又当时，,即单调递增，所以方程在内有根，3由于在单增，所以方程在内有唯一根。注意：有根区间不是唯一的，只要区间右端点处的函数值大于0即可。2、只要用正确的收敛的迭代格式算出满足精度的近似根。说明格式收敛。四、给出计算下列三对角线性方程组的“追赶法”的算法，并分析其计算量。其中。解：“追赶法”的算法如下：通过n-1次消元后，可得：其中：回代求解得：“追”的过程中的运算量如下：乘除法运算量：5n-3次，加减法运算量：3(n-1)次“赶”的过程中的运算量如下：乘除法运算量：n-1次，加减法运算量：n-1次4所以“追赶法”的运算量为：乘除法运算量：6n-4次，加减法运算量：4n-4次。五、给定线性方程组：①用列主元素LU分解法求解该方程组(注：用高斯列主元消元法不得分)。②写出Gauss-Seidel迭代格式并分析该迭代格式是否收敛。①解：则：由于做了两次和行交换，所以解的下三角方程组为：解之得：解上三角方程组：5得：②解：交换第2个和第3个方程，则得同解方程组：该方程组的Gauss-Seidel迭代法的分量形式为：由于：其矩阵形式为：其中：迭代矩阵为：而，所以该方程组的Gauss-Seidel迭代格式是发散的。六、给定函数f(x)，对x，存在，证明对于内的任意定数，迭代过程均收敛于方程的根x*。6证明：因为该迭代过程的迭代函数为：所以：又当时，对x，都有：即：，也就是：所以由定理知，该迭代格式产生的迭代序列收敛。令：，迭代格式两端同时取极限得：，即，1分即迭代序列的极限x*是方程的根。故当时，对x，迭代格式收敛于方程的根x*。