20150121实变函数-期末考试卷

第1页浙江师范大学《实变函数》考试卷（2014-2015学年第一学期）考试方式闭卷使用学生初阳2012级考试时间120分钟出卷时间2015年01月21日说明：考生将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、（70分）知识性与概念性题目（一）、请判别下述各题正确与否（每题2.5分，共50分）1在蔡梅洛-弗兰克尔公理体系内，设是一个指标集，}{A是一族集合，AU，则}|{xxUxT是一个集合。2)(ACACAAAA3)()(CBACBA{属于A、B、C中刚好两个集合的元素全体}4一个集合为无穷集的充要条件为它与自己的一个真子集对等。5有限个可数集的积集仍为可数集，可数个有限集的积集也是可数集。6cN}1,0{，cNN。7一个非空集(X)PU若关于有限交运算封闭、关于任意并运算封闭，则它是非空集X上的一个拓扑。8设X为一非空集，M为X的子集组成的一个非空集，若M关于可列并运算、取余运算封闭，则称M为X上的一个σ-代数。9若非空集X上有函数RXX:满足：(a).非负性：0),(yx；(b).对称性：),(),(xyyx；(c).三角不等式：),(zx),(),(zyyx；则称),(X为一度量空间（或称距离空间）。10可数集的Jordan外测度为0，从而Lebesgue测度为0。11有界开集一定为Jordan可测的，从而也是Lebesgue可测的。12若0),(FEd，则)()()(***FmEmFEm。13对于Lebesgue可测集列，若AAk且)(infkkAm，则)()(AmAmk。14任何正测集都含有Lebesgue不可测子集。15设E为nR中的Lebesgue可测集，0)(Em，则有00，使得向量差集},:{EyxyxEE),0(0B。16设X为nR中非空集可测集，f：XR，则f为Lebesgue可测当且仅当Rst,，ts，})(:{]),([1txfsXxtsf可测。17若1RXf：Lebesgue可测，11RRg：也Lebesgue可测，则fgLebesgue可测。18ffmn存在子列{jnf}，使得ffjn近。19若fL1(E)，则})(:{xfx为Lebesgue零测集。20若f在mnRR上非负Lebesgue可测，则对任意xnR，fx(y)=f(x,y)作为y的函数为Lebesgue可测。（二）、请按要求给出答案（共20分）1、（10分）请叙述下述定义（任选1题）：(1).请给出nR上Lebesgue可积函数及其积分的定义。第2页(2).请给出有界区间],[ba上有界变差函数与绝对连续函数的定义。2、（10分）请说明（任选1题）：(1).若f为非负可测函数，则0)(dxxfE当且仅当：0)(xf）（..ea。(2).若fL1(E)，则})(:{xfx为零测集。二、（90分）理论证明题（每题15分）(1).下列三题任选两题(i)简单叙述可数集的定义；证明：]1,0[是不可数的。(ii)简单叙述区间]1,0[中Cantor集C的定义；证明：Cantor集C与区间]1,0[等势。(iii)简单叙述不可数集的定义；设A为可数集，B为不可数集，证明：BBA。(2)下列两题任选一题(i)叙述nR中Cauchy列的定义；设1}{kkx为2R中的一Cauchy列，证明：1}{kkx收敛。(ii)设2RE为有界闭集，1:REf为连续函数，证明：f一致连续。(3)下列三题任选两题(i)若f：nRR非负可测，则存在一可测简单函数列{n}使得nf处处成立，并且在使得f为有界的任意可测集上一致收敛。(ii)叙述并证明Carathéodory定理。(iii)叙述并证明Levi单调收敛定理。(4)下列两题任选一题(i)若非负可测简单函数f可表成mEjjaf1，其中mjjE1}{为nR中一组Lebesgue可测集，mjja1}{为一列非负实数，证明：mjjREmadxxfn1)()(的值与mEjjaf1的表示方式无关。(ii)若f为nR上非负可测函数，则对任意非负可测简单函数列{k}，若kf几乎处处成立，则dxxdxxfkRRnn)(lim)(，从而dxxkRn)(lim与1}{kk的选取无关。三、（40分）讨论题（每题40分，任选1题）1、设1}{kkf为nR上一列处处有限的可测函数，f也处处有限且可测。（1）（12分）请给出在nR上1}{kkf几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛于f的定义。（2）（12分）请给出这三个收敛性之间的关系。（3）（8分）请证明：{x：1)}({kkxf不收敛于f(x)}}/1|)()(:|{11sxfxfxkmkms。（4）（8分）下面两题选做一题：a).假设存在非负可积函数)(1nRLF，使得)()(xFxfk几乎处处成立（1k），证明：若1}{kkf几乎处处收敛于f，则1}{kkf一定近一致收敛于f。b).假设nRE为有界集，证明：若1}{kkf几乎处处收敛于f，则1}{kkf在E上一定近一致收敛于f。2、设nRE。（1）（12分）请给出E的内点、边界点、孤立点、聚点的定义。（2）（12分）请讨论这四者之间的关系。（3）下面三题选做两题（每题8分）：a).叙述开集的定义，证明：E为开集的充要条件为EE。b).叙述闭集的定义，证明：E的边界E为闭集。c).叙述完全集的定义，证明：E为完全集的充要条件为E是没有孤立点的闭集。