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专题六几何变换与应用东北育才学校彭玲一．知识要点1．合同变换保持两点距离不变的平面几何变换称为合同变换。在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为相等的角，三角形变为与其全等的三角形。即：合同变换下不改变图形的形状和大小，只改变其位置。合同变换有：平移、反射和对称三种形式。2．平移变换把图形G中的每一点沿着同一方向aur移动相同的距离||auv，得到图形'G，从图形G到图形'G的变换叫做平移变换。其中aur叫做平移向量。记作Lauv。性质1平移变换下的两组对应点构成一个平行四边形；性质2平移变换把任意图形变换成与它全等的图形。3．反射变换给定平面上的一条直线l，从这个平面上的点到关于对称轴l的对称点的变换叫做反射变换（或叫做对称变换）。记作lS。性质1对称轴是任一对对应点的连线段的垂直平分线；性质2反射变换把任意图形变换成与它全等的图形。4．旋转变换将图形G中的每一点绕同一定点O按同一方向（逆时针或顺时针）旋转同一大小的角度q后得到图形'G，从图形G到图形'G的变换叫做旋转变换。其中O点叫做旋转中心，q叫做旋转角。这种变换简记为0()Rq。性质1旋转变换保持线段的长度和角度的大小均不变；性质2旋转变换把任意图形变换成与它全等的图形。5．相似变换一个平面上的点到自身的变换，如果对于平面上任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有''ABkAB=（k为正实数），那么这个变换叫做相似变换。其中k叫做相似比，相似比为k的相似变换记作H（k）。性质1在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角；性质2相似变换保持三点的单比不变，即若()'''HkABCABC揪井、、、、，则''''ABABBCBC=；性质3相似变换保持两直线夹角的大小不变；性质4相似变换把一个图形变为与它相似的图形。6．位似变换设O是平面上一定点，H是平面上的变换。若对任一对对应点P、P’都有'OPkOP=uuuruuur（k为非零实数），则称H为位似变换。记为H（O，k），其中O叫做位似中心，K叫做位似比。（1）位似变换是相似变换的一种特殊形式。（2）定义中的条件“'OPkOP=uuuruuur”等价于如下三个条件：①O、P、P’三点共线；②'||OPkOP=；③当0k时，P、P’在点O的同侧，当0k时，P、P’在点O的异侧。（3）在位似变换下，任何一条不过位似中心的直线变成与它平行的直线；过位似中心的直线是不变的直线；对应线段之比相等；对应角相等且转向相同。7.反演变换设O是平面上的一个定点，k是一个非零常数，如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于O的点A与其像点'A，恒有（1）',,AOA共线；（2）'OAOAk=uuuruuurg则这个变换称为平面的一个反演变换，记作(,)IOk，其中定点O称为反演中心，常数k称为反演幂，点'A称为A的反点。性质1.在反演变换下，不共线的两对互反点共圆。性质2.在反演变换(,)IOk下，，有||''kABABOAOB=gg。性质3.在反演变换下，过反演中心的直线不变，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆，过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线，不过反演中心的圆的反形是不过反演中心的圆。性质4.在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小不变，方向相反。二．范例选讲例1（2004年俄罗斯数学奥林匹克）点M位于平行四边形ABCD内部，点N位于AMDD内部，使得0180MNAMCBMNDMBC????。求证：MN∥AB。例2如图，在ABCD中，ACBC=，090ACB?，P、Q为边AB上的两点，且045PCQ?。求证：222APBQPQ+=。例3（2004年克罗地亚数学竞赛）已知点A、B、C在某平面上，设D、E、F、G、H、I是同一平面上的点，且使得ABDBAECAFDFGECHGHIDDDDDD、、、、、为正定向等边三角形。求证：点E是线段AI的中点。例4（2003德国国家数学奥林匹克）如图，在ABCD的内部有四个半径相等的1234KKKKeeee、、、，其中123KKKeee、、均与ABCD的两条边相切，且与4Ke外切。求证：ABCD的内心、外心和4K在一条直线上。ACBPQMABCDEFGHI例5（2004年希腊数学奥林匹克）已知Oe的半径为r，A为圆外一点，过点A作直线l（与AO不同），交Oe于点B、C，且B在A、C之间，作直线l关于AO的对称直线交Oe于点D、E，且E在A、D之间。求证：四边形BCDE两条对角线的交点为定点，即该交点不依赖于直线l的位置。例6（2004年中国台湾数学奥林匹克）设O、H分别是锐角ABCD的外心、垂心，BACÐ的角平分线交ABCD的外接圆于点D，点D关于直线BC的对称点为E，关于点O的对称点为F。如果AE与FH交于点G，BC的中点为M。求证：GMAF^。K3K4K2K1CABIOOBCAEDPA'ABCOHDMFGEH'例7在ABCD中，050ABC?，020ACB?，N为形内一点，040NAB?，030NBC?。求NCBÐ的度数。例8已知：在四边形ABCD中，0120AC??。求证：222()()()ACBDABCDBCADABBCCDDA???鬃?。例9（第44届IMO预选题）在等腰ABCD中，ACBC=，I为其内心。设P是AIBD的外接圆在ABCD内部的圆弧上一点，过P分别平行于CA和CB的直线交AB于点D和E，过P平行于AB的直线交CA于点F、交CB于点G。求证：直线DF与直线EG的交点在ABCD的外接圆上。ABCNPQABCDEACBIPFGEDQ例10（2004年俄罗斯数学奥林匹克）已知1Oe和2Oe相交于A、B，由点A分别向1Oe和2Oe作切线12ll、。点12TT、分别位于1Oe和2Oe上，且1122TOAAOT??。1Oe上过点1T的切线与2l相交于点1M，2Oe上过点2T的切线与1l相交于点2M。求证：线段12MM的中点位于一条不依赖于点位置的直线上。例11.圆内接四边形ABCD内有一点P满足∠APD=∠ABP+∠DCP．P在AB,BC,CD上射影为E、F、G．证明△EFG∽△APD．O1O2ABT1T2M1M2O'1T'1M'1l1l2B1EFDPCABG例12.双心四边形ABCD，AC∩BD=E，内、外心为I、O．求证I、O、E三点共线．三．强化训练1．已知：点O是ABCDY内的一个点，使得0180AOBCOD??。求证：OBCODC??。2．已知三个相等的圆有一个公共点K，并且都在一个已知的三角形内，每一个圆与三角形的两条边相切。求证：三角形的内心I、外心O和已知点K在一条直线上。3．已知：O、I分别是ABCD的外心和内心，已知030OIB?。求证：060BAC?。4．（第42届IMO预选题）设ABCD是锐角三角形，在ABCD的外侧作等腰DACD、EABD、FBCD，且DADCEAEBFBFC===、、，2ADCBAC??、2BEAABC??、2CFBACB??。设D’是直线DB与EF的交点，E’是直线EC与DF的交点，F’是直线FA与DE的交点。求'''DBECFADDEEFF++的值。5．在ABCD中，020A?，ABACa==，BCb=。求证：3323abab+=。6．设以a为边长的等边三角形ABC内一点P到各顶点的距离满足,,PAuPBvPCw===，若222uvw+=。求证：223wuva+=。7．锐角△ABC中，N为△ABC的九点圆圆心，N为N的等角共轭点，O为△ABC外心．OA中垂线交BC于A，类似定义B、C．证明A、B、C共线于l且l⊥ON．DGCMNABLKG'()