20150318数值分析学生版作业

2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业计科专业_______级_____班姓名:___________学号:____________第一章绪论一、单项选择题1.用3.1415作为的近似值时具有（）位有效数字。（A）3（B）4（C）5（D）62.已知数x1=721x2=0.721x3=0.700x4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为()。(A)3，3，3，1(B)3，3，3，3(C)3，3，1，1(D)3，3，3，2二、填空题1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如21.414,这时所产生的误差称为_______误差.（填误差的类型）2.为尽量避免有效数字的严重损失，当1x时，应将表达式xx1改写为_________以保证计算结果比较精确.3.在数值计算中，通常取e2.71，此时产生的误差为_________误差（填误差的类型）.4.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有_________位有效数字。三、计算题1、（本题5分）试确定722作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。第二章插值法一、单项选择题1.通过点0011(x,y),(x,y)的拉格朗日插值基函数01l(x),l(x)满足().(A)0011l(x)0,l(x)0(B)0011l(x)1,l(x)1(C)0011l(x)1,l(x)0(D)0011l(x)0,l(x)12.是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个().(A)n+1次多项式(B)n次多项式(C)次数小于n的多项式(D)次数不超过n的多项式二、填空题1.设有节点012x,x,x，其对应的函数yf(x)的值分别为012y,y,y，则二次拉格朗日插值基函数0l(x)___________.2.已知2()1,fxx则[1,2,3]____f.2.已知f(1)1,f(2)3,那么yf(x)以1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_________.3.当x=1，-1，2时，对应的函数值分别为f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，则f(x)的拉格朗日插值多项式是.4.设2f(x)x，则f(x)关于节点012x0,x1,x3的二阶向前差分为___________.5.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的_____，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的___；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的___.6.设20)2(,10)1(,0)0(fff,则___,,10f___,2,1,0f)(xf的二次牛顿插值多项式为___________________________.7.设)(xLn为)(xf的n次拉格朗日插值多项式，则其插值余项为_________________.8.已知53()245,fxxxx则[1,1,0]f,[3,2,1,1,2,3]f_____.9.设),,2,1,0(,,53)(2kkhxxxfk则差商123[,,,]___nnnnfxxxx.10.设()(0,1,2)jlxjn是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则()jilx____________(,0,1,2)ijn；0()njjlx。三、计算题1．给定数据x0235f(x)1-3-42（1）写出f(x)的3次Lagrange插值多项式3L(x)；（2）写出f(x)的3次Newton插值多项式3N(x).2.已知-1245-2457(1)用拉格朗日插值法求的三次插值多项式；(2)求x，使=0。3.给定数据,)(,)(,)(,)(143521100yyyy求三次拉格朗日插值多项式)(xL3.4.已知函数()yfx在如下节点处的函数值x-1012y1430（1）建立以上数据的差分表；（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()Px，并计算(1.1)y的近似值；5.已知y=x，0x=4，1x=9，用线性插值求7的近似值。6.已知x1234F(x)021512计算三阶差商f［1,3,4,7］。7.已知ix1347f(ix)021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。8.设)(xf为k次多项式，nxxxx,,,210为1n个互异点，)(xLn为)(xf的n次插值多项式。若nk，试证)()(xfxLn。第三章函数逼近于计算一、填空题1.用二次多项式2012(x)aaxax,其中012a,a,a是待定参数，拟合点1122nn(x,y),(x,y),,(x,y)，那么参数012a,a,a是使误差平方和____________________取最小值的解。2.已知数据对kk(x,y)(k1,2,,n),用直线yabx拟合这n个点,则参数a,b满足的法方程组是__________________.二、计算题1.已知一组实验数据如下ix12345if(x)44.5688.5求它的拟合曲线（直线）.2、已知一组试验数据如下ix20406080100if4.357.5510.4013.8016.80求它的拟合曲线（直线）。3．求32f(x)x在[0,1]上求关于span1,x的一次最佳平方逼近多项式.4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y1250245.,111,fxxspanxx在，上求关于的最佳平方逼近。6.求xxf)(在区间[1/4,1]上的关于权函数1)(x的一次最佳平方逼近多项式.7.求353323xxxxf)(在区间],[11上的最佳二次逼近多项式.8.已知-2-101242135求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。9.已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)iixyin，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：2724212121xxxxxx11.求3xf(x)在[0，1]上的一次平方逼近多项式。第四章数值积分与数值微分一、单项选择题1.已知求积公式21121f(x)dxf(1)Af()f(2)636，则A（）.16(A)13(B)12(C)23(D)2.已知n4时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数(4)(4)01716C,C,9045(4)22C15，那么(4)3C（）.(A)790(B)1645(C)215(D)(4)3716239C1904515903.已知节点kk(x,y),(k0,1,2,,n),插值型两点求导公式是（）.1011y(xx)h(A)1101y(xx)h(B)1011y(yy)h(C)1011y(yy)h(D)4.求积分公式11f(x)dxf(1)f(1)是()次代数精度.(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题1.求积分公式10211123f(x)dxf()f()f()343234具有_____次代数精度.2.设求积公式nbkkak0f(x)dxAf(x)，若对_______________的多项式积分公式精确成立，而至少有一个m1次多项式不成立，则称该求积公式具有m次代数精度.3.已知n3时，科特斯系数(3)(3)(3)01213C,CC88，那么(3)3C_____.4.求初值问题00yf(x,y)y(x)y近似解的梯形公式是k1y___________.5.n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n个求积节点的高斯求积公式的代数精度为.6.5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是.7.1n个节点的Gauss型求积公式具有______次的代数精度.8.为使求积公式1123133()()(0)()33fxdxAfAfAf的代数精度尽量高，应使1A，2A，3A，此时公式具有次的代数精度。9.数值微分公式)(af≈hhafhaf2)()(的代数精度为_______.三、计算题1.试用n1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分101Idx1x.2.已知012113,,,424xxx(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424fxdxAfAfAf；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120xdx.3.试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。4.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.5.已知)(xf的函数值如下：x1.82.02.22.42.6)(xf3.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求dxxf6.28.1)(的近似值.6.已知)(xf的函数值如下表25.15.001)(15.005.01xfx用复合梯形公式和复合Simpson公式求dxxf11)(的近似值.第五章常微分方程数值解法一、单项选择题1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是k1pc1y(yy)2,那么pcy,y分别为().pkkkckk1pyyhf(x,y)yyhf(x,y)(A)pkkkckk1kyyhf(x,y)yyhf(x,y)(B)pkk1kckkpyyhf(x,y)yyhf(x,y)(C)pkkkckkpyyf(x,y)yyf(x,y)(D)2.求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为().1O(h)(A)2O(h)(B)3O(h)(C)4O(h)(D).3.解微分方程初值问题的方法，（）的局部截断误差为)(3hO.(A)欧拉法(B)改进欧拉法(C)三阶龙格—库塔法(D)四阶龙格—库塔法二、计算题1.写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题y83yy(0)2的计算公式,并取步长h0.2,计算y(0.4)的近似值,小数点后至少保留4位.2.用Euler方法求解初值问题'(0)0yxyy，取0.1h在区间[0,0.3]计算,结果保留到小数点后4位.3.初值问题0)0(0,yxbaxy有精确bxaxxy221)(，试证明：用Euler法以h为步长所得近似解ny的整体截断误差为nnnnahxyxy21)(4.写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）1)0(')1yyxy,10x1)0(13')2yxyy,10x5.用改进欧拉法求解1)0('yyxy)10(x，2.0h，取两位小数。6.取步长，用梯形法解常微分方程初值问题7.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。22(01,0.2)(0)0yxyxhy第六章方程求根一、单项选择题1.求解方程f(x)0,若f(x)0可以表示成x(x),则用简单迭代法求根,那么(x)满足(),近似根序列12nx,x,,x,一定收敛.(x)r1(A)(x)r1(B)(x)r1(C)(x)r1(D)2.下列说法不正确的是().(A)二分法不能用于求函数f(x)0的复根.(B)方程求根的迭代解法的迭代函数为(x),则迭代收敛的充分条件是(x)1.(C)用高斯消元法求解线性方程组Axb时,在没有舍入误差的情况下得到的都是精确解.(D)如果插值节点相同,在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价的.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式