201511--实变函数-练习+模拟题

1同学们：元旦快乐！1月4日，上课地点：1F-315，时间不变。复习提示：这些是类型题。大家认真复习，掌握相关知识点。考试要求：带学生证，不得作弊，否则清出考场！第一次部分一、分析题A集合、点集、测度论1、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系.答：⑴只有孤立点的集合不一定是无聚点的集合.如：',1,,31,21,1RnE，0'E.⑵无聚点的集合不一定只有孤立点.如：E，'E.2、任意多个闭集的并集一定是闭集么？回答并举例说明.答：不一定.例：),3,2(11,1nnnFn，则nF为闭集，但)1,0(2nnFUF是开集.3、试举出1R中这样的点集:其极限点一部分在点集中，另一部分不在点集中.答：令1,0|xxQ，x是有理数，则Q的极限点全体就是1,0，则Q就是1R中这样的集合.4、任意多个开集的交集一定是开集么？回答并举例说明.答：不一定.例如：),,2,1(),11,11(nnnGn每个nG是开集，但]1,1[1nnG不是开集.5、（-1，1)与,对等么？说明理由.答：对等.)2tan()(xxf是（-1，1)到),(的一一对应.6、设12,GG是开集，且1G是2G的真子集，是否一定有12mGmG？回答并举例讨论说明.答：不一定有12mGmG.例如：111(0,)(,1)22G，2(0,1)G.虽然1G是2G的真子集，但121mGmG.7、1,0与1,0是否对等？若对等，做出它们间的一一映射.答：对等.因为0,1(),0,1xfxxx是1,0到1,0上的一一映射.10、说明为什么可数集合在无限集中具有最小的基数？答：任一无限集都至少包含一个可测子集.212、有界可测集与测度有限的可测集之间有什么关系？答：若E有界，则Em*.反之不真，如有理数集全体，0mE，但无限.13、回答并扼要说明集合的基数与集合的测度之间的关系.答：当集合基数为0,n,a时，其测度一定为0；但反之不真，如康托尔集P的测度为零但基数为c.当集合E的基数为c时，E可能是零测度集，如康托尔集P；E可能是正测度集，如[0，1]；E也可能是测度无限的集，如R.14、平面上坐标为有理数的点组成的集合是否为可数集？回答并证明.答：平面上坐标为有理数的点组成的集合是可数集.设(,),xyDPxyxy分别独立地跑遍有理数集，则D为平面上坐标为有理数的点的全体，D中元素依赖于两个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D为可数集.15、设1ER为正测度集，问是否12xxE,，使12xx为无理数？答：存在.由0mE，可知E具有连续基数.现取1xE，做集合1xxxEA，则A与1Ex一一对应，即A亦具有连续基数.故1()xxxE不可能全是有理数，即2xE，使12xx是无理数，从而12xx为无理数.16、证明：设A是以平面上有理点（即坐标都是有理数)为中心、以有理数为半径的圆的全体，则A为可数集.证：用xyra表示以平面上(,)xy为中心，以r为半径的圆，则,,xyrAaxyrQ分别独立地跑遍有理数集，则A中元素依赖于三个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D为可数集.17、1R中至少有一个内点的集合若可测，问其测度可否为零？为什么？答：不可能.设0xE是E的一个内点，则00使0000(,)xxE.由测度的单调性知00000(,)20mEmxx.B可测函数与积分理论1、从()fx可测能否推出)(xf也可测？回答并举例说明.答：不能.设1E是1,0中的不可测子集(具正测度的集合，一定有不可测子集)，令3112,()2,0,1xEfxxE，则因10EfE是不可测集，可知f不是1,0上的可测函数.然而()2fx于0,1，为可测函数.2、设()fx于E上可积，令nEEfn，是否有lim0nxmE？回答并证明.答：一定有lim0nxmE.因为()fx于E上可积，所以()EfxdxS.但是(),nnnEESfxdxndxnmE所以1nmESn，因而有lim0nxmE.3、设311,,()1,,xxPfxxQ其中1|0,1Qxx，x是有理数，1|0,1Pxx，x是无理数，)(xf在]1,0[上黎曼可积么？勒贝格可积么？为什么？若可积，计算10().fxdx解：在]1,0[上)(xf不是黎曼可积的，因为除1x外，]1,0[上的点全是)(xf的间断点，即)(xf的间断点所成之集[0,1)是一个正测度集.)(xf是勒贝格可积的.因]1,0[是测度有限集,且)(xf在]1,0[上是有界可测的.令3(),[0,1]xxx,显然()x在[0,1]上黎曼可积,则..)()(eaxxf于],1,0[()fx在[0,1]上也黎曼可积，且10().fxdx113001()()4Lxdxxdx.5、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？答：Effn于Euaffn于..Eeaffn于..叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理子列子列RieszRiesz定理定理子列Effn于Euaffn于..Eeaffn于..Effn于Euaffn于..Eeaffn于..叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞Lebesgue定理mE+∞叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理子列子列RieszRiesz定理定理子列子列RieszRiesz定理定理子列子列计算题1、求集列10,1(1),1,2,3,nnn的上、下极限集.4解：1lim0,1(1)(0,1);nnn1lim0,1(1)(0,1]nnn.2、求极限nxdxxnnxRn31022sin1)(lim.答：∵nxxnnx322sin1在1,0上连续，∴R可积，且1,032210322sin1sin1nxdxxnnxLnxdxxnnxR.又由于1,02121sin122322Lnxnxxnnxnxxnnx，)且0sin1lim322nxxnnxn，1,0x.故由勒贝格控制收敛定理得，1,032210322sin1limsin1limnxdxxnnxLnxdxxnnxRnn00sin1lim1,01,0322dxnxdxxnnxn3、设在Cantor集上定义函数f(x)=sinx，而在Cantor集的长为n31的邻接区间上定义f(x)=n31。计算f(x)在[0,1]上的L积分值。解：设nE是邻接区间中长为n31的构成区间之并，则nnnmE321，因此111,031nnnnEmEdxxfdxxfn71323111nnnn所以xf的积分值为71。4、依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛的么？回答，并证明或举例.答：不一定.例如：取]1,0(E.将E二等分，在E上定义两个函数：]1,21(,1]21,0(,0)()()1(11xxxgxf，]21,0(,1]1,21(,0)()()1(22xxxgxf将E三等分，在E上定义三个函数：]31,0(,1]31,0(,0)()()2(13xxxgxf，]32,31(,1]32,31(,0)()()2(24xxxgxf，5,]1,32(,1]1,32(,0)()()2(35xxxgxf则)}({xfn为所求函数列，因为在每一点处)}({xfn都有两个聚点0，1，从而)}({xfn处处不收敛；又因为0]|1[|,0nfmE，从而)}({xfn在E上依测度收敛到1.5、设()nfx是可测集qER上一列可测函数，且()0nfx，则11[()]()nnEEnnfxdxfxdx（利用列维定理完成).证明：令()()nngxfx，()ngx是可测集qER上一列非负可测函数.令1()(),1,2,3,nniihxgxn，则()nhx为可测集qER上非负递增的可测函数序列，由列维定理有lim()lim()nnEEnnhxdxhxdx.（*)因为1lim()()ninihxgx，1()()nniEEihxdxgxdx，代入（*)式即得11[()]()nnEEnngxdxgxdx，即11()()nnEEnnfxdxfxdx，亦即11[()]()nnEEnnfxdxfxdx.6、试从231(1)(),(0,1)1xxxxx，求证：41312112ln.证：在1,0上，01nnxx.0010122102211211kkkkkkdxxxxdx4131211.6第二部分“模拟题”一、判断题（“×”或“√”)（本大题14分，每小题1分)（×)1、任意多个闭集的并集一定是闭集.（√)2、[,]Cab的是完备的度量空间..（×)3、E的界点一定是E的聚点.（×)4、康托尔集没有内点.（×)5、有理数全体所成之集Q是完备集.（√)6、平面上有理点为中心、以有理数为半径的圆的全体，成一可数集.（×)7、任何点集E上的常数函数,fxcxE都是E上的可测函数.新加的（√)8、可测函数)()(ELxf的充要条件是),(fEmG与),(fEmG都有限.（L积分的几何意义，p128-130：定义3、定理3、推论1、推论2）（×)9、若mE，则E是有界集.（√)10、nR是可分的度量空间.（×)11、],[baC按照通常的函数加法和数乘运算成为有限维线性空间.(√)12、设,XY是度量空间，:TXY是线性、保距算子，则T一定是单射.(√)13、设,XY是赋范线性空间,:TXY是线性算子,若T在X上连续,则T在X上一定有界．（√)14、有限集合，其测度一定为0.新加的（×)15、nR中存在不具外测度的集合.二、填空题（本大题16分，每空2分）1、设E是函数1sin,0,0,0.xyxx的图形上的点所作成的集合，在2R内求E的,oEE.解：1(,)sin,0(,)1,0Exyyxxyyxx，.oE2、求集列(1)(0,1),1,2,3,nnAnn的上、下极限集.解：lim(0,1);nnAlim(0,1]nnA3、无限集的描述：4、()fx是E上任意的可测函数，则()fx简单函数的关系：.5、设)(xf在[,]ab上L可积，则其不定积分与绝对连续函数的关系.7、设{En}是一列单调增加的可测集，则：)lim(nnEm=)(limnnmE.78、设{En}是一列单调递降可测集且1mE，则：)(1nnEm=)(limnnmE.三、大题1、（0，1)与,对等么？说明理由.答：对等.)2tan()(xxf是（0，1)到),(的一一对应.2、依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛的么？回答，并证明或举例.答：不一定.例如：取1,0E，将E二等分，定义两个函数：]1,21(,3]21,0(,1)()()1(11xxxgxf，]1,21