2015331第21次课线性规划

全国课外培训前五强愉快教育成功教育1/9培养成功素质助力国家未来卓越教育教案专用【重点知识梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【方法技巧】1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题全国课外培训前五强愉快教育成功教育2/9培养成功素质助力国家未来如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．【随堂训练】1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．已知实数对(x，y)满足x≤2，y≥1，x－y≥0，则2x＋y取最小值时的最优解是()A．6B．3C．(2,2)D．(1,1)3．设变量x，y满足约束条件x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.－32，6B.－32，－1C．[－1,6]D.－6，324．在不等式组x－y≤0，x＋y≥0，y≤a确定的平面区域中，若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值是()A．1B．2C．3D．45．已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足2x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，y－1≥0，则|PQ|的最小值为()A．5B.43C．2D．7全国课外培训前五强愉快教育成功教育3/9培养成功素质助力国家未来6．已知A(3，3)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0，设Z为OA在OP上的投影，则Z的取值范围是()A．[－3，3]B．[－3,3]C．[－3，3]D．[－3，3]7．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.8．已知x，y满足y－2≤0，x＋3≥0，x－y－1≤0，则x2＋y2的最大值为________．【高频考点突破】考点一、二元一次不等式（组）表示平面区域例1、直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个【方法技巧】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．【变式探究】若满足条件x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A．－3B．－2C．－1D．0(2)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________．考点二、求目标函数的最值例2、(1)设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．全国课外培训前五强愉快教育成功教育4/9培养成功素质助力国家未来(2)已知实数x，y满足x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．【方法技巧】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.注意转化的等价性及几何意义．2．(1)设z＝2x＋y，其中x，y满足x＋y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，若z的最大值为6，则k的值为________；z的最小值为________．(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA＋OM|的最小值是________．考点三、线性规划的实际应用例3、某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【方法技巧】与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．全国课外培训前五强愉快教育成功教育5/9培养成功素质助力国家未来【变式探究】铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．【经典考题精析】（2013·安徽卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．22B．23C．42D．43（2013·北京卷）设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是()A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－53全国课外培训前五强愉快教育成功教育6/9培养成功素质助力国家未来2013·广东卷）给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0，令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．（2013·湖北卷）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？（2013·湖南卷）若变量x，y满足结束条件y≤2x，x＋y≤1，y≥－1，则x＋2y的最大值是()A．－52B．0C.53D.52（2013·江苏卷）抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．（2013·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12全国课外培训前五强愉快教育成功教育7/9培养成功素质助力国家未来（2013·陕西卷）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．（2013·天津卷）设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1D．2（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥a（x－3）.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2（2013·浙江卷）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－y－4≤0.若z的最大值为12，则实数k＝________．全国课外培训前五强愉快教育成功教育8/9培养成功素质助力国家未来【当堂巩固】1．已知函数f(x)＝x2－5x＋4，则不等式组fx－fy≥0，1≤x≤4对应的平面区域为()2．设变量x，y满足x－y≤10，0≤x＋y≤20，0≤y≤15，则2x＋3y的最大值为()A．20B．35C．45D．553．已知实数x，y满足x≥1，y≤2，x－y≤0，则(x－1)2＋y2的最大值为()A.5B．2C．4D．54．已知点P(x，y)的坐标满足x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，x≤2.O为坐标原点，则|PO|的最小值为()A.22B.322C．5D.135．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()A.14B.35C．4D.53全国课外培训前五强愉快教育成功教育9/9培养成功素质助力国家未来6．如果实数x，y满足x－4y＋3≤03x＋5y－25≤0，x≥1目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为()A．2B．－2C．15D．不存在7．某实验室需购化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费__________元．8．当对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象至少经过区域M＝{(x，y)|x－y≥0，x＋y－8≤0，y－3≥0(x，y∈R)}内的一个点时，实数a的取值范围是_