2015上复习

偏微分方程数值解试题(06A)一（10分）、设矩阵A对称正定，定义)(),(),(21)(nRxxbxAxxJ，证明下列两个问题等价：(1)求nRx0使)(min)(0xJxJnRx;(2)求下列方程组的解：bAx解:设nRx0是)(xJ的最小值点,对于任意的nRx,令),(2),()()()(2000xAxxbAxxJxxJ,(3分)因此0是)(的极小值点,0)0(',即对于任意的nRx,0),(0xbAx,特别取bAxx0,则有0||||),(2000bAxbAxbAx,得到bAx0.(3分)反之,若nRx0满足bAx0,则对于任意的x,)(),(21)0()1()(00xJxAxxxJ,因此0x是)(xJ的最小值点.(4分)评分标准:)(的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：0)(,0)(),()(buaubaxfqudxdupdxdLu其中]),([,0]),,([,0)(min)(]),,([0min],[1baHfqbaCqpxpxpbaCpbax建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。解:设}0)()(),,(|{110buaubaHuuH为求解函数空间,检验函数空间.取),(10baHv,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分))().(),(vffvdxdxquvdxdvdxdupvuababa,),(10baHv即变分问题的Galerkin形式.(3分)令badxfuqudxdupufuuauJ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz形式为求),(10*baHu,使)(min)(10*uJuJHu(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题0|)1,0()1,0(),(,12222GuGyxyuxu（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取3/1h，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取Nh/1的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散khyjhxkj,,差分格式为12221,1,2,1,1huuuhuuukjjkkjkjjkkj(5分)应用Tayloy展开得到,截断误差为)(][12444442hOyuxuhjk,其阶为)(2hO(3分)(2)未知量为TuuuuU),,,(22211211,矩阵形式为FAU,其中111191,4110140110410114FA(4分)解为Tu)1,1,1,1(181(3分)(3)矩阵为BIIBIIB,4114114B(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题TttutuxxxuTtxxuatu0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即FBUAUkk1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为kjxkjkjuhauu2211,(5分)应用Taylor展开得到,误差主项为)()(12)(214244222hOxuahtukjkj,阶为)(2hO(3分)(2)},21,{,rrrdiagBEA,(4分)稳定条件为2/1r(3分)(3)格式为))1((1221kjkjxkjkjuuhauu,(3分)当21格式恒稳定,当21,稳定条件为211r(2分)五（10分）、逼近0xuatu的三层差分格式0221111huuauunjnjnjnj分析格式的稳定性解:计算形式为1111)(njnjnjnjuuuaru(2分)此为三层格式,化为两层格式.令njnjuv1,则有njnjnjnjnjnjuvvuuaru1111)((4分)令jhinnjjhinnjewvewu21,,代入格式,消去公因子,得到nnnnwwhiarww211211011sin2(2分)放大矩阵为011sin2hiarG,特征方程为11sin2||hiarGE01sin22hiar,ihrahar2sin44sin22222,1121,1|}||,max{|21的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即0sin44222hra.考虑到的变化,稳定条件为1||ar(2分)六（10分）、建立波动方程22222xuatu的初值问题的显格式，推导截断误差.解:差分格式为njxnjnjnjuhauuu22221112,(5分)截断误差为)(121442442244hOhxuatunjnj,阶为)(22hO(5分)七（10分）、对于二维抛物型方程)(2222yuxuatu建立向后差分格式（隐格式），指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解:差分格式为)(121221njkynjkxnjknjkuuhauu(4分)误差阶为)(2hO(3分)放大因子为2sin42sin411),,(22hrhrG,恒稳定.(3分)八（10分）、分析差分格式)0(22112111acuhuubhuuuauukjkjkjkjkjkjkjkj的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分2222)cos1(4)cos1(41sin||khkhkhG222)cos1(4)cos1(41)cos1)(cos1(khkhkhkh)]cos1()cos1(44)[cos1(122khkhkh(2分)vonNeumann条件1||G变为0)cos1()cos1(4422khkh即0)cos1)(4(24222kh只需024)4(2,0242222条件024可以写成122a。第二个条件可化为122h，因此差分格式稳定的条件是12,1222ha(3分)11a2