3.3.1函数的单调性与导数(2)

3.3.1函数的单调性与导数高二数学选修1-1第三章导数及其应用（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）．函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。uv2''uvvuv（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,()()0.vtht②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,()()0.vtht(1)(2)105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvxyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x31yx观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.如果恒有，则是常数。()fx'()0fxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。三、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2的图像可以看到:yxo11－1在区间(0,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即0时,函数y=f(x)在区间(0,+∞)内为增函数.y在区间(-∞,0)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x)在区间(-∞,0)内为减函数.yaby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf)(xf)(xf.)(),())(,()),(,()()(2122111212调性在这个区间内的单以近似表示函数很小时，平均变化率可的长度当区间数的单调性定义可知，两点直线的斜率，由函的几何意义是经过平均变化率xfyxxxfxxfxxxxfxf在某个区间(a,b)内,如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.0)(xf0)(xf函数的单调性与导数间的关系例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;()0,fx()fx当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;()0,fx)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型：应用导数信息确定函数大致图象练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xfOabcxyyfx例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以3()3fxxx.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以2()23fxxx).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf题型：求函数的单调性、单调区间例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以()sin,(0,)fxxxx.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以32()23241fxxxx当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xfaby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf)(xf)(xf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？总结：注：单调区间不以“并集”出现。练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf(1)(1,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1)(2)(0,)单调递增区间:,单调递减区间:(-,0)(3)(1,1)单调递增区间:,单调递减区间:(-,1),(1,+)1(4)(1,)313单调递增区间:,(-,-)单调递减区间:(-,1)例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（(1)(2)(3)(4)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:2()(0)fxaxbxca()2.fxaxb0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab练习4.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:32()267fxxx2()612.fxxx)2,0(---,----,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf)(xf)2,0()2,0()(xf)2,0(，时x已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx题型：应用导数信息确定函数大致图象解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)练习：设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)0(f’(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围题型：根据函数的单调性求参数的取值范围325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)232fxax-x解：()=在（0，1]上是增函数，2230f'xa-x()=在（0，1]上恒成立，232ax即：在（0，1]上恒成立，23322g(x)x而在（0，1]上的最大值为，32a。注：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx练习：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，∴a0且△=36+12a≤0，∴a≤-3例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12f(x)x-sinx,x(,)解：112f'(x)cosxf(x)在（，）上是单调函数，00xfx而当时，（)=01002xsinxx.方程有唯一的根cossin335(,)(,2)(,)(2,3)22.