2015中考专题突破探究型之存在性问题

1/282015年中考数学专题突破---探究性之存在性问题1.（厦门市同安区）如图，BC是半圆O的直径，点A在半圆O上，点D是AC的中点，点E在AC上运动．若AB=2，tan∠ACB=12，请问：分别以点A、E、D为直角顶点的等腰三角形AED存在吗？请逐一说明理由．①以点A为直角顶点的等腰三角形不存在若存在，则∠CAE=90°∵∠BAC=90°∴B、A、E成一条直线∴B、A、E不可能在同一个圆上，即点E不在⊙O上因此以点A为直角顶点的等腰三角形不存在2/28③以点D为直角顶点的等腰三角形不存在如图2，连接EC假设点D为直角顶点的等腰三角形存在则ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，∵ED是AC的垂直平分线，3/282.（河南省）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=14x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2（0≤x≤3）；（2）y=14x2﹣x+3．（3）符合条件的点P有两个，分别是P1（2，2），P2（﹣2，6）．【解析】试题分析：（1）根据题意，得重叠部分是等腰直角三角形．根据运动的路程=速度×时间=2x．再根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，即可进一步求得等腰直角三角形的面积；4/28（3）设P（m，n）．当点P到y轴的距离为2时，有|m|=2，∴|m|=2．当m=2时，得n=2，当m=﹣2时，得n=6．当点P到x轴的距离为2时，有|n|=2．5/28∵y=14x2﹣x+3=14（x﹣2）2+2＞0∴n=2．当n=2时，得m=2．综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（2，2），P2（﹣2，6）．考点：二次函数综合题．3．（滨州市吴棣县埕口中学）如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足2(3)10OBOA．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，说明理由．【解析】学科网试题分析：（1）根据条件2(3)10OBOA，可求得OB=3，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0，3）；（2）在直角三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=2t，S=S△ABC-S△APC=23-t；6/28（3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：①△ABP∽△AOB；②△ABP∽△BOA．可知满足条件的有四个．（3）存在，满足条件的有四个，分别为：7/28P1（-3，0），P2（-1，233），P3（3，23），P4（1，433）．考点：相似三角形的判定与性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．4.（德州市宁津县）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，直线y=x+2交y轴交于点D，交抛物线于E、F两点，点P为线段EF上一个动点（与E、F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；（3）是否存在点P使△POB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8/28（3）存在，P点坐标为（2，4）或(−1+7，1+7)．考点：二次函数综合题．5.（眉山市华兴联谊学校）已知直角坐标系中有一点A(-4，3)，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形。(1)求满足条件的所有点B的坐标。（直接写出答案）(2)求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数解析式。（只需求出满足条件的即可）。(3)在(2)中求出的抛物线上存在点p，使得以O、A、B、P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。9/28②OP∥AB时，方法同上，过P作PF⊥x轴于F，然后通过相似三角形：△ABC∽△POF，来求出P点坐标，梯形面积求法同上．（当OA=AB时，两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称，可据此直接求出P点坐标，避免重复计算．）10/28（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三点，设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx，可得方程组64801643abab，解得31632ab，11/28∴y=-316x2-32x；当OA=OB时，同理得y=-34x2-154x；当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，△AOC∽△PBF，34PFACBFOC；12/286.（内蒙古海拉尔区第四中学）如图，已知直线L过点(01)A，和(10)B，，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）当02t时，设OPt，OPQ△的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出S的最大值；（3）当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时，直线1L过点A且与x轴平行，问在1L上是否存在点C，使得CPQ△是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1yx；（2）211(1)44St，当1t时，S有最大值14；（3）在1L上存在点(11)C，，使得CPQ△是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．13/28（i）当点P在线段OB上，如图–1．由对称性，得BCQQOPQPOQOP，，∴180QPBQCBQPBQPO°，∴360()90PQCQPBQCBPBC°°．即90PQC°14/28考点：二次函数综合题．7.（无锡市锡北片）等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD，DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值_____；（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使2AEBE，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠DBC=12m﹣15°；（2）m的取值为：30°，120°，210°，300°；（3）存在2个符合条件的m的值：m=30°或m=330°．15/28如图②：同理可得：AE：BE=2．．考点：1.等腰三角形的性质2.等腰直角三角形3.旋转的性质．8.（张家港市）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－34x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，16/28动点P从点B出发沿BA向终点A运动，同时动点Q从点O出发沿OB向点B运动，到达点B后立刻以原来的速度沿BO返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点A时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t(t0)秒．(1)求点P的坐标（用含t的代数式表示）；(2)当点Q从点O向点B运动时(未到达点B)，是否存在实数t，使得△BPQ的面积大于17若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．是否存在t的值，使得直线l经过点O?若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．试题解析：（1）如图，过点P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．17/28（2）不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17．∵Q、P在OB、OA上运动，∴S△BQP≤S△AOB．∵S△AOB=12OA·OB=1342=6，∴S△BQP≤6＜17，∴不存在实数t，使得△BPQ的面积大于17；（3）∵P（45t，﹣35x+3），∴OC=45t，PC=﹣35x+3，18/28∴OP2=（45t）2+（﹣35x+3）2，∵O在l的垂直平分线上，∴OP=OQ．9.（邹平县礼参初级中学）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．19/2820/2810.（邹平县礼参初级中学）如图1，□ABCD中,对角线BD⊥AB,AB=5，AD边上的高为4.等腰直角△EFG中，EF=4，∠EGF=45°,且△EFG与□ABCD位于直线AD的同侧，点F与点D重合，GF与AD在同一直线上．△EFG从点D出发以每秒1个单位的速度沿射线DA方向平移，当点G到点A时停止运动；同时点P也从点A出发，以每秒3个单位的速度沿折线AD→DC方向运动，到达点C时停止运动，设运动的时间为t.（1）求AD的长度；（2）在EFG△平移的过程中，记EFG△与△ABD相互重叠的面积为s,请直接写出面积s与运动时间t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图2，在运动的过程中，若线段EF与线段BD交于点Q，连接PQ.是否存在这样的时间t，使得21/28△DPQ为等腰三角形？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由.11.（襄阳市襄州区）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．（1）求证：∠GCF=∠FCE；22/28（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．试题解析：（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC，∴∠BAP＋∠APB=90º23/28（3）存在.如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，则MD∥PF，且MD=FP，又∵PF=AP，∴MD=AP24/28∵四边形ABCD是正方形，学科网∴AB=AD，∠ABP=∠DAM∴△ABP≌△DAM∴AM=BP=2，∴BM=AB－AM=5－2=3.∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．考点:1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定．12.（襄阳市襄州区）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线cbxaxy2经过A，B，C三点．（1）求证：∠CAO=∠CAD；（2）求弦BD的长；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可．25/2826/28∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴