2015中考动态几何问题集

-1-数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题。在中考压轴题中，动点形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。原创模拟预测题1.如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.【答案】（1）相似。理由见解析（2）存在，α=2β+60°（3）233Sx-2-【解析】解:（1）相似…………………………………………………………1分由题意得：∠APA1=∠BPB1=αAP=A1PBP=B1P则∠PAA1=∠PBB1=2902180……………………………2分∵∠PBB1=∠EBF∴∠PAE=∠EBF又∵∠BEF=∠AEP∴△BEF∽△AEP………………………………………………………3分（2）存在，理由如下：………………………………………………………4分易得：△BEF∽△AEP若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可…………………5分∴∠BAE=∠ABE∵∠BAC=60°∴∠BAE=30229060∵∠ABE=β∠BAE=∠ABE………………………………6分∴302即α=2β+60°………………………………7分在Rt△ABD中，BD=32∴BG=xx233)2(2332………………………………9分∴xxSBBA33223342111（0≤x＜2）………………10分（1）通过三角形的相似性求证（2）由（1）得△BEF∽△AEP，若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE，即∠BAE=∠ABE，求得∠BAE的度数的表示，即可求出α与β之间的数量关系-3-（3）连结BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H.由已知求得△PAA1是等边三角形，在Rt△ABD中，求得BG的长，从而通过三角形的面积，即可求得S关于x的函数关系式原创模拟预测题2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是抛物线21yx2x42上的一个动点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在△OPE与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由。【答案】解：存在。∵2211yx2x4x2622，∴抛物线的对称轴为x=2。∴OD=2。如图，若△OPE≌△OPD，则∠OPD=∠OPE，即点P在各象限的角平分线上，-4-当P1（317，317），E1（0，2）时，由待定系数法可求P1E1的解析式为717yx24；当P2（317，317），E2（0，2）时，由待定系数法可求P2E2的解析式为717yx24。-5-综上所述，直线PE的解析式为717yx24或717yx24或1yx22或y2x2。【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定，解一元二次方程，二次根式化简，分类思想的应用。原创模拟预测题3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．（1）点F在边BC上．①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得16BOOG？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①t=1；②9572t．（2）92157，2711.【解析】试题解析：（1）①如图1-6-∵DE⊥AF，∴∠AOE=90°，②如图2∵△EBF∽△DCF∴EBBFDCFC，∵BF=2t，AE=1+t，∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，∴32442ttt，解得：19572t，29572t（舍去），故9572t．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，-7-A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=32ttx+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，把O的坐标为（27，47）代入y=32ttx+3﹣t，得47=32tt×27+3﹣t，解得，t=92157（舍去），t=92157，②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，-8-A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=374tx+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵222425BGBG==2【考点】四边形综合题．-9-原创模拟预测题4.如图，已知抛物线2yx2x经过点A，B及原点O，顶点为C，直线OB为yx，点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：存在。①若点P在第一象限，则2x2x2x182，即2x23x2x，解得：x1=2，x2=13。均不合题意。②若点P在第二象限，则22xx2x182，即22x3x2x，解得：x1=13，x2=2（不合题意，舍去）。当x=13时，y=79，即P（13，79）。-10-③若点P在第四象限，则2x2xx2182，即2x23x2x，解得：x1=2，x2=13。均不合题意。（2）若△PMA∽△BOC，则AMPMCOBO，①若点P在第一象限，则2x2x2x218，即23x2x2x，解得：x1=3，x2=2（不合题意，舍去）。当x=3时，y=3，即P（3，3）。②若点P在第二象限，则22xx2x218，即232xx2x，解得：x1=3，x2=2（不合题意，舍去）。当x=3时，y=15，即P（3，15）。③若点P在第四象限，则2x2xx2218，即23x2x2x，解得：x1=3，x2=2。均不合题意。综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P（13，79）或（3，3）或（3，15）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，分类思想的应用。原创模拟预测题5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？-11-【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。设AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3。∴AD=3。∴点D（﹣3，10）∵抛物线y=ax2+bx+c过点O（0，0），∴c=0。∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（﹣3，10），C（﹣8，0），∴9a3b1064a8b0，解得2a316b3。∴抛物线的解析式为：2216yxx33。【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。-12-