2015中考动点问题集锦

中考压轴动点问题1、如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6AH=23AC=23×6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1∴AHAC=HGBC，即46=8HG，∴HG=163∴S△AHG=12AH·HG=12×4×163=323（2）①能为正方形∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形又CH=AC-AH=6-4=2∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥ABt=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积过F作FM⊥DE于M，FMME=tan∠DEF=tan∠ABC=ACBC=68=34∴ME=43FM=43×2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH′的面积为12（4+43）×2=163y=163（Ⅱ）∵当4＜t≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=12×8×6-323=403S矩形CDH′H=2t∴y=403-2t（Ⅲ）当513＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8-tPDDB=tan∠ABC=34∴PD=34DB=34（8-t）∴重的面积y=S,△PDB=12PD·DB=12·34（8-t）（8-t）=38（8-t）2=38t2-6t+24y与ty=316（0≤t≤4403-2t（4＜t≤51338t2-6t+24（513＜t≤8）2、已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，(2)∴381032OABtan，∴60OAB当点A´在线段AB上时，∵60OAB，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且ATTP，∴)t10(2360sin)t10(TP，)t10(21AT21APPA，○2当6t2时，由图○1，重叠部分的面积EBATPASSS∵△A´EB的高是60sinBA，∴23)4t10(21)t10(83S2234)2t(83)28t4t(8322当t=2时，S的值最大是34；当2t0，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ETFFTPEFT，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴3432421OCEF21S综上所述，S的最大值是34，此时t的值是2t0.3、如图(1)在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s;连接PQ。若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2).根据以上信息，解答下列问题：(1)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？(2)设四边形PQCB的面积为y()，直接写出y与t之间的函数关系式；(3)在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.------------2分（2）③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，∴Rt△AHP∽Rt△ACB，∴即，解得：＞2（不合题意应舍去）综上所述，当时，所形成的四边形为菱形.-------------------4．如图24－1，在ABC△中，90A，4AB，3AC．M是边AB上的动点（M不与AB，重合），MNBC∥交AC于点N，AMN△关于MN的对称图形是PMN△．设AMx．（1）用含x的式子表示AMN△的面积（不必写出过程）；（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；（3）在动点M的运动过程中，记PMN△与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=x2．（8分）②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．【解析】（1）S△AMN=x2（3）；（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）（3）（i）以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=x2（8分）②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴∴∴y=（ii）∵当0＜x≤2时，y=x2∴易知y最大=（11分）又∵当2＜x＜4时，y=x2+6x-6=（x-）2+2．∴当时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）ABCNMPABCNMPABCNMP图24—1图24—2图24—3二次函数类型题等腰三角形问题1、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．1、解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得：∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．面积问题2、如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：3k+b=0b=3，解得k=1b=3。∴直线BC的解析式：y=﹣x+3。已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）。3）存在。如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=12MN（OD+DB）=12MN•OB，∴S△BNC=12（﹣m2+3m）•3=﹣32（m﹣32）2+278（0＜m＜3）。∴当m=32时，△BNC的面积最大，最大值为278。3、已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3（2）∵22yx2x3x14，∴对称轴为x=1。令2yx2x30，解得x1=3，x2=－1，∴C（－1，0）。如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：3kb0b3，解得k1b3。∴直线AB解析式为y=－x＋3。当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）。（3）结论：存在。如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．ABPPNAAOBPNOBSSSS梯形111OBPNONPNANOAOB222111393yxy3x33xy22222（）（）（）（）∵P（x，y）在抛物线上，∴2yx2x3，代入上式得22ABP3933327Sxyx3xx222228（）（）（）。∴当x=32时，S△ABP取得最大值。当x=32时，23315y23=224，∴P（32，154）。四边形问题4、如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=34x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣52．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上．（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．4、（2）∵A（4，0）、BB（0，3），∴OA=4，OB=3，22ABOAOB5。若四边形ABCD是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）.将C（﹣5，3）代入y=34x2+154x+3中，得：34×（﹣5）2+154×（﹣