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2015初三加油站特殊多边形存在性问题【解题技巧】图形因动点的变化而变化，在变化的过程中构成等腰三角形的情况一定要分类讨论，有坐标系的动点问题中简单粗暴的方法是代数法，利用点的坐标直接把三角形的边都表示出来；纯几何图形中的动点问题一般利用三线合一或相似比快速解决问题。学神的方法是数形结合，看图说话，以数解题。例1（2012广西）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）.（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.例2（2012朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。例3、如图已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成三角形ABC，设AB=x.（1）求x的取值范围；（2）若三角形ABC为等腰三角形，求x的值；（3）探究：三角形ABC的最大面积【堂上练习】1、（2010南通）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y=12𝑚，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？2、（2012广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由【解题技巧】一个三角形有三个角，这三个角每个角都有可能成为直角，所以做这类题目时要分类讨论，直角三角形经常伴随着勾股定理出现，难一点的题目是结合圆，考虑直径对应的圆周角是直角。例1、直线L与x轴、y轴分别交于点A（0,1），B（4,3），P是x轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，点P的坐标为（）A.(1，0)，(3，0)，(12，0)，(11，0)B.(12，0)，(11，0)C.(12，0)，(112，0)，(1，0)，(3，0)D.(12，0)，(11，0)，(1，0)，(3，0)例2、如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．例3、直线y=−43𝑥+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．【堂上练习】1、如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.2、（2014广东）在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）.（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由。【解题技巧】两个三角形是否存在相似的情况，思考的第一要务是确定一组角相等，之后根据AA或SAS判定另一组角相等或对应边成比例时情况，普通人只考虑一种情况，学神总会把两种情况考虑周全。例1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．（1）求AD的长；（2）设四边形BFED的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出函数定义域；（3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．例2、如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．(1)直接写出点A、B的坐标：A(___，___),B(___，___)；(2)若抛物线y＝y=−13x2+bx+c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是_______________；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当72≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．【堂上练习】1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.（1）求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）.（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线的方程C1:y=−1𝑚(x+2)与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．3、如图，已知二次函数y=148(𝑥+2)(𝑎𝑥+𝑏)的图像过点A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【解题技巧】一般情况下是三个点固定，另外一个动点在动，稍难一点的是两个点在动。如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况。例1、如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．（1）求∠PAC的正切值（2）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标。变式、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．例2、已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点，（点P与A，B）不重合，过P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，说明理由.例3、（2012福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）。（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长。【堂上练习】1、已知抛物线y=x2+1(如图所示)．(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．3、（2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）.（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直