中考数学函数综合题型及解题方法讲解

第1页共12页二次函数综合题型精讲精练主讲：姜老师题型一：二次函数中的最值问题例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x．（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，因此OM+AM最小值为．方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。AABBM或者MA’B’例2：已知抛物线1C的函数解析式为23(0)yaxbxab，若抛物线1C经过点(0,3)，方程230axbxa的两根为1x，2x，且124xx。（1）求抛物线1C的顶点坐标.（2）已知实数0x，请证明：1xx≥2,并说明x为何值时才会有12xx.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C，设1(,)Amy，2(,)Bny是2C上的两个不同点，且满足：090AOB，0m，0n.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，第2页共12页并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３∴a＝１∴ｙ＝x2＋bx－３∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且21x-x＝４∴21221214)(xxxxxx＝４且b＜０∴b＝－２∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）（2）∵x＞０，∴0)1(212xxxx∴,21xx显然当x＝１时，才有,21xx（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）∵ΔAOB为RtΔ∴OA２+OB２=AB２∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２化简得：mn＝－１∵ＳΔAOB=OBOA21=424221nnmm∵mn＝－１∴ＳΔAOB＝22221221221mmnm＝1221121)1(212mmmm∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=212214xx)x(x可得到：根公式根据一元二次方程的求;24;242221aacbbxaacbbx.;2121acxxabxx②，取得最小值。时，当211);(,21mmmommm例3：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．第3页共12页（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例4：如图，已知：直线3xy交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3xy上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入2yaxbxc=++得方程组03039cbaccba第4页共12页解得：341cba∴抛物线的解析式为243yxx=-+（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则1DPOBADAO∴DP1=AD=4,∴P1(1,4)-若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）（3）如图设点E(,)xy，则||2||21yyADSADE①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE||2214221y=4y+∴24yy=+∴4y=∵点E在x轴下方∴4y=-代入得：2434xx-+=-,即0742xx∵△=(-4)2-4×7=-120∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=2y+∴22yy=+∴2y=∵点E在x轴下方∴2y=-代入得：2432xx-+=-即0542xx，∵△=(-4)2-4×5=-40∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例5：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；第5页共12页（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），第6页共12页方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．解析：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．当x=0时，y=3．∴C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）抛物线上有三个这样的点Q，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，过点B′作B′E⊥x轴于点E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2．∴Rt△AOC～Rt△AFB，第7页共12页∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴，∴，即．∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′点的坐标为（﹣，）．设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．∴，解得，∴直线B'D的解析式为：y=x+，联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得，∴M点的坐标为（，）．方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。第8页共12页题型四：二次函数与圆的综合问题例7：如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线233yxbxc过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．解析：（1）如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB=413∴B（0，3）将A（3，0），B（0，3）代入二次函数的表达式得3930