与圆有关的证明及计算提优练习

与圆有关的证明及计算提优练习1.(2016上海)已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB︵＝AC︵，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.(1)求证：AD＝CE；(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．第1题图2.(2016沈阳)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求BD︵的长．(结果保留π)第2题图3.(2016盐城射阳县二模)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，D是劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求⊙O的面积．第3题图4.(2016南京一模)如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．第4题图5.(2016南通启东市二模)如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝23，点M是AB︵上任意一点(与端点A、B不重合)，ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C.(1)求AB︵的长；(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．第5题图6.(2016曲靖)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径．(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．第6题图7.(2016呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：∠FBC＝∠FCB；(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．第7题图8.(2016昆明)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．第8题图9.(2016徐州模拟)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F.(1)如图①，若∠AEF＝∠C，求证：BC与⊙O相切；(2)如图②，若∠BAC＝90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．第9题图10.(2016包头)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．第10题图答案1.证明：(1)在⊙O中，∵AB︵＝AC︵，∴AB＝AC，∵∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，AB＝CA∠B＝∠EACBD＝AE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE；(2)如解图，连接AO并延长，交BC于点H，在BC上找一点G，连接AG，使AG＝AD，第1题解图∵AB︵＝AC︵，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．2.(1)证明：如解图，连接OD，第2题解图∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC；(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴BD︵的长＝nπr180＝60π×5180＝53π.3.(1)证明：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CDF＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，∵∠ADB＝∠EDF，∴∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE；(2)解：如解图，连接AO并延长交BC于点H，交⊙O于点M，连接OC，第3题解图∵AB＝AC，∴AB︵＝AC︵，∴AH⊥BC，∴∠OAC＝∠OAB＝12BAC＝12×30°＝15°，∴∠COH＝2∠OAC＝30°，设⊙O的半径为r，在Rt△OCH中，则OH＝OC·cos30°＝32r，∵△ABC中BC边上的高为2＋3，∴AH＝OA＋OH＝r＋32r＝2＋3，解得r＝2.∴S＝πr2＝4π.∴△ABC的外接圆的面积为4π.4.(1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，OC⊥EF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC；第4题解图(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG.∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G三点共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD＝∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BAG.5.解：(1)过点O作OH⊥AB于点H，如解图，则AH＝12AB＝3，∵∠AOB＝120°，∴∠OAH＝30°，∴AO＝AHcos30°＝2，∴lAB︵＝120π·2180＝4π3；第5题解图(2)如解图，连接AM、BM，∵ME⊥AB，∴AB是⊙M的切线，∵AC、BC是⊙M的切线，∴⊙M是△ABC的内切圆，∴AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝180°－12(∠CAB＋∠ABC)＝180°－12(180°－∠ACB)，∴∠AMB＝90°＋12∠ACB，∵∠AOB＝120°，∴∠AMB＝120°，∴∠ACB＝60°，即∠ACB的大小不变，为60°.6.(1)解：如解图，连接OE，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝BC2－AC2＝132－52＝12，第6题解图∵⊙O与BC边相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠CAB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴BOBC＝OECA，即12－r13＝r5，解得r＝103.所以⊙O的半径为103.(2)证明：分别连接OE、OF，如解图，∵BC⊥OE，∴∠B＋∠BEF＝∠OEF＋∠BEF，∴∠B＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝∠B，∵∠F＝2∠B，∴∠OFA＝∠AFE－∠OFE＝2∠B－∠B＝∠B，又∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠B，∴AF∥CB，∵CA⊥AB，EF⊥AB，∴CA∥EF，∴四边形AFEC是平行四边形．连接OC，如解图，∵AO＝EO，∠CAO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，∴Rt△AOC∽Rt△EOC.∴CA＝CE，∴平行四边形AFEC是菱形．7.(1)证明：∵四边形AFBC是圆的内接四边形，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，又∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴BFDF＝FAFB，即BF2＝FA·FD＝12，解得：BF＝23，∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴tan∠FBA＝AFBF＝223＝33，∴∠FBA＝30°，由△AFB∽△BFD得，∠FBA＝∠FDB，∴∠FDB＝30°，∴CD＝AD·cos30°＝23.8.(1)证明：如解图，连接OD，第8题解图∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DOC＝∠AOC，在△COD和△COA中，OC＝OC∠COD＝∠COAOD＝OA，∴△COD≌△COA(SAS)，∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴CF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∵EC∥OB，∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，∴EC＝ED＝BO＝DB，∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·tan60°＝23，∴S阴＝2S△OAC－S扇形OAD＝2×12×2×23－120π·22360＝43－4π3.9.(1)证明：如解图，连接DF，在⊙O中∠AEF＝∠ADF，第9题解图又∵∠AEF＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∵AD为⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴∠CFD＝90°，∴∠C＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵AD为⊙O的直径，∴BC与⊙O相切；(2)解：分两种情况：①若△AEF∽△ACB，则∠AEF＝∠C，由(1)知BC与⊙O相切，∴设BD＝x，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴由勾股定理得BC＝10，∴DC＝10－x，∴根据勾股定理得62－x2＝82－（10－x）2，解得x＝3.6，∴BD＝3.6；②若△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠B，∴EF∥BC，∵∠EAF为直角，∴EF为直径，∴△AEO∽△ABD，∴EABA＝EOBD＝AOAD＝12，∴BD＝2EO＝EF，∵△AEF∽△ABC，∴EFBC＝EABA＝12，即BD＝2EO＝EF＝12BC＝5.10.(1)证明：如解图，连接BD，第10题解图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝12AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，∵∠EDA＝∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，∠A＝∠FBDAD＝BD∠EDA＝∠FDB，∴△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF；(2)证明：如解图，连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DF＝DE，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得：EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝22＋12＝5，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝DEEF，∵EF＝5，∴DE＝5×22＝102，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴