二次函数导学案

11.二次函数的定义□自学导读·领悟知识我能行【学习目标】理解二次函数的定义.【学习重点】二次函数的表达式【学习难点】二次函数的判断【读书思考】1.什么是二次函数,二次函数在课本上是从形式上定义的,特别要注意二次系数不为0.2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式.【归纳小结】知识点一:二次函数的定义1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．2．观察：①y＝6x2；②y＝－32x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．３.下列函数中:①y=－x2②y=22+x2－x3③y=2x④m=3－t－t2是二次函数是的(x,t为自变量)知识点二：二次函数的表达式１．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数．２．底面周长是xcm的正方形，面积为０.５cm,长方体的体积为ycm2，则y与x的函数关系式为。３．某校九（６）班共有x名学生，在毕业典礼上每两人之间都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式为。【典题解析】例１下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x(x－5)＋2（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋1x例２．已知y=(m－4)xm2-3m-2+2x－３是二次函数求m的值□基础训练·基本题型我过关1．y＝(m＋1)xmm2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（）2A．y＝x＋12B．y＝3(x－1)2C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝1x2－x3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）A．28米B．48米C．68米D．88米4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当y＝－13时，x的值．□能力提升·走进中考我能赢5．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）A．a＝1B．a＝±1C．a≠1D．a≠－16．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x2－1B．y＝x－1C．y＝8xD．y＝8x27．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．8．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．32.二次函数y=ax2的图象和性质□自学导读·领悟知识我能行【学习目标】会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。【学习重点】使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点【学习难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质【读书思考】1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?【归纳小结】函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题；(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？(2)yA、yB大小关系如何?(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?(4)yC、yD大小关系如何?(XAXB，且XA0，XB0；yAyB；XCXD，且XC0，XD0，yCyD)其次，让学生填空。当X0时，函数值y随着x的增大而______，当XO时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2(a0)取得最小值，最小值y=______以上结论就是当a0时，函数y=ax2的性质。思考以下问题：观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当aO时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当aO时，函数y=ax2具有哪些性质?让学生讨论、交流，达成共识，当aO时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当aO时，函数y=ax2的性质；当x0时，函数值y随x的增大而增大；与xO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。4【典题解析】例1:关于二次函数y＝x2与y＝-x2的图象,下列说法错误的是()A.它们的开口方向相同B.对称轴都是y轴C.顶点都是原点D.与x轴都有且只有一个交点例2:二次函数y＝x2和y＝2x2,以下说法:①它们的图象都是开口向上.②它们对称轴都是y轴,顶点都是原点.③当x＞0时,它们的函数值y都随x的增大而增大.④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有()A.1个B.2个C.3个D.4个□基础训练·基本题型我过关1．在同一坐标系内，画出下列函数的图象：（1）221xy；（2）221xy。根据图象填空：（1）抛物线221xy的对称轴是（或），顶点坐标是，抛物线上的点都在x轴的方，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，当x=时，该函数有最值是；（2）抛物线221xy的对称轴是（或），顶点坐标是，抛物线上的点都在x轴的方，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，当x=时，该函数有最值是；2．已知函数422mmxmy是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？□能力提升·走进中考我能赢＞3．对于函数22xy下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称。其中正确的是。4．二次函数12mmxy在其图象对称轴的左则，y随x的增大而增大，求m的值。55．二次函数223xy，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系。6．函数2axy与baxy的图象可能是（）A．B．C．D．3.函数kaxy2的图象与性质□自学导读·领悟知识我能行【学习目标】1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。2、让学生经历二次函数性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。【学习重点】会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质【学习难点】理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。【读书思考】1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。(1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；(2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y＝12x2，y＝12x2＋2，y＝12x2－2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。你能说出抛物线y＝12x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝12x2得到抛物线y＝12x2＋2和y＝12x2－2?4．试说出函数y＝12x2，y＝12x2＋2，y＝12x2－2的图象所具有的共同性质。【归纳小结】1．二次函数y＝ax2＋k的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?3．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?6【典题解析】例1.抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．例2.(1)．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线kxy2，当k取0，1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是。(2)．将抛物线122xy向上平移4个单位后，所得的抛物线是，当x=时，该抛物线有最（填大或小）值，是。□基础训练·基本题型我过关1．抛物线322xy的开口,对称轴是,顶点坐标是,当x时,y随x的增大而增大,当x时,y随x的增大而减小.2．将抛物线231xy向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为,并分别写出这两个函数的顶点坐标、。3．二次函数caxy20a中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于。4．已知函数：221xy，3212xy和1212xy。（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）说出函数6212xy的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（4）试说明函数3212xy、1212xy、6212xy的图象分别有抛物线221xy作怎样的平移才能得到（2）（3）解答：抛物线开口方向对称轴顶点坐标221xy3212xy1212xy76212xy□能力提升·走进中考我能赢5(2009年上海).将抛物线22xy向上平移4个单位后，得到一新的抛物线,那么新的抛物线的表达式是.6.(2009庆阳)．将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．22(1)yxB．22(1)yxC．221yxD．221yx7．(2009庆阳)图1是二次函数2122yx的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，试求出S取值的一个范围