2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)第八单元第二节一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法基础梳理1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集如下表000的图像二次函数)0(2acbxaxy的根一元二次方程)0(02acbxax的解集)0(02acbxax的解集)0(02acbxax)(2121xxxx、有两相异实根abxx221有两相等实根没有实数根),)21xx（，（),2()2,(ababR),(21xxacb42判别式,3.分式不等式与一元二次不等式的关系设ab＞0等价于（x-a）(x-b)0;0等价于（x-a）(x-b)0;(x-a)(x-b)≥0;≥0等价于x-b≠0;(x-a)(x-b)≤0≤0等价于x-b≠0.bxaxbxaxbxaxbxax分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.典例分析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式.(1)-x2+2x-0；(2)8x-1≤16x2.分析可根据二次函数、方程和不等式的关系求解，也可利用二次函数图象求解，还可对不等式左边（右边为0)进行因式分解，然后求解.32解(1)两边同乘以-3，得3x2-6x+20.因为30,且方程3x2-6x+2=0的根是x1=1-,x2=1+,所以原不等式的解集是{x|1-x1+}33333333(2)方法一：∵原不等式即为16x2-8x+1≥0,其相应方程为16x2-8x+1=0,Δ=(-8)2-4×16=0,∴上述方程有两相等实根x=14,结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知，原不等式的解集为R.方法二：8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集为R.举一反三学后反思一般地，对于a0的一元二次不等式，可以直接按a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.1.设m∈R,解关于x的不等式2220mxmx21xmm解析：分类讨论：(1)当m=0时，不等式恒成立，不等式的解集为R;(2)当m＞0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)＜0，解得(3)当m＜0时，原不等式化为(mx+2)(mx-1)＜0，解得综上,当m=0时，不等式的解集为R;当m＞0时，不等式的解集为(,);当m＜0时，不等式的解集为(,).12xmm2m1m1m2m题型二三个二次问题【例2】函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立,求a的取值范围；(2)当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.分析设g（x）=f(x)-a=x2+ax+3-a,f(x)≥a恒成立问题转化为g(x)≥0恒成立问题：（1）中x∈R时,g(x)≥0恒成立，即g(x)的图象不在x轴下方，故Δ≤0;(2)中求当x∈[-2,2]时，g(x)≥0恒成立，并不能说明抛物线恒在x轴上方，怎样解呢？解（1）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，则有Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,∴-6≤a≤2.(2)方法一：当x∈[-2,2]时，g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论：①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[-2,+∞)时，g(x)≥0,即Δ≥0,a2-4(3-a)≥0,a≥2或a≤-6,x=--2,即--2,a4g(-2)≥0,4-2a+3-a≥0a≤,解得a∈φ.2a2a37③如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即Δ≥0,a2-4(3-a)≥0a≥2或a≤-6,x=-2即-2,a-4,g(2)≥0,4+2a+3-a≥0a≥-7解得-7≤a≤-6.综合①②③得a∈[-7,2].2a2a方法二:f(x)=x2+ax+3≥a,只要f(x)的最小值大于或等于a即可.f(x)=x2+ax+3=(x+)2+.当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,f(x)min=3-.令3-≥a-6≤a≤2,再结合-4≤a≤4,得-4≤a≤2.①当-2,即a-4时，f(x)min=f(2)=2a+7.令2a+7≥a,则a≥-7,∴-7≤a-4.②当--2,即a4时,f(x)min=f(-2)=7-2a.令7-2a≥a时,则a≤,∴a∈φ.③由①②③,得-7≤a≤2.即当a∈[-7,2]时，在x∈[-2,2]时，有f(x)≥a恒成立.24a2a2a24a24a2a2a37学后反思(1)f(x)=ax2+bx+c≥0(a≠0)对x∈R恒成立时，a0只要求满足Δ≤0即可.另外：①ax2+bx+c0(a≠0)恒成立a0,Δ0;②ax2+bx+c0(a≠0)恒成立a0,Δ0;③ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立a0,Δ≤0.(2)区别“f(x)≥0对x∈R恒成立”与“f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立”的不同.f(x)≥0对x∈[m,n]恒成立，即f(x)在[m,n]上的最小值f(x)min≥0举一反三2.不等式对于x∈R恒成立，则a的取值范围是.222240axax解析：(1)当a=2时，不等式恒成立；(2)由解得-2a2.综上,-2a≤2.220421620aaax答案：(-2,2］题型三一元二次不等式的实际应用【例3】(14分)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt,按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳8元（称作税率为8个百分点，即8%）.为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析理解题意,巧设未知数,正确将不等关系转化成不等式是解题关键.解设税率调低后的税收总收入为y元,…………………….1′则y=2400m(1+2x%)[(8-x)%]=(x2+42x-400)(0x≤8).……………..4′依题意,得y≥2400m×8%×78%,即(x2+42x-400)≥2400m×8%×78%.…….7′整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2.……………...10′根据x的实际意义,知0x≤8,所以0x≤2为所求.………….13′故x的取值范围是(0,2].………………………14′m2512m2512学后反思解不等式应用题，可分以下几步：(1)认真审题，抓住问题的关键词，找准不等关系;(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数字化;(3)求解不等式;(4)还原实际问题.举一反三3.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总质量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50km/h行驶时,从刹车到停车走了20m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1s)?解析：设卡车从刹车到停车滑行距离为sm,时速为vkm/h,卡车总质量为t,则有s=kv2t(k为常数).设卡车空载时的总质量为t0,则20=k·502t0,解得k==.设卡车的限速为xkm/h（x0),易知1s走了=(m),由题意得·x2·2t0+≤15,即，解得0x≤23.所以卡车的最大限速为23km/h.02t50200t1251x36001000185x0t1251x18501518512512xx易错警示【例】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.错解ax2-（a+1）x+10x2-(1+)x+1a0,即(x-1)(x-)0.当1,即0a1时,不等式解集为{x|1x}.当1,即a1或a0时,不等式解集为{x|x1}.错解分析上述错解有如下错误：应首先对二次项x2的系数a的正负进行讨论.讨论时漏掉了a=0和a0两种情况,在比较与1的大小时,又忽视了=1这种情况.此外应注意如下错误:步骤要规范完整,分类讨论的试题要有总结性的语言,如“综上所述，有……”；再有，由于关于x的不等式是按a的取值分类讨论的,故最后结论不应取并集,应分别叙述;若是按x分类讨论的,则最后应取并集,故何时取交集、并集还是分别说明应引起重视.a1a1a1a1a1a1a1a1正解若a=0,-x+10x1;若a0,(x-)(x-1)0x或x1;若a0x-(x-1)0.(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定:①当a=1时，式（*x∈φ;②当a1时，式（*x1;③当0a1时，式（*1x.综上所述，当a0时,不等式解集为{x|x1a或x1};当a=0时，不等式解集为{x|x1};当0a1时，不等式解集为{x|1x};当a=1时，不等式解集为φ;当a1时，不等式解集为{x|1ax1}.a1a1a1a1a1a1考点演练解析：由题意知a0,可设而a0,∴∴-4a0.21232fxaxxaxaxa222max831444aaaafxaa10.(2009·北京西城区模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)0的解集为（1,2）,若f(x)的最大值小于1，求a的取值范围.11.(2010·厦门质检)若不等式对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.2211xmx解析:设要使f(m)＜0在-2≤m≤2上恒成立，只需即或2121fmxmx2020f2213132210222230172xxxxxx172x171322x12.(2009·南京模拟)已知不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb}.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0.解析：(1)因为不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b1,由根与系数关系得1+b=,a=1,1×b=,解得b=2.a3a2(2)ax2-(ac+b)x+bc0x2-(2+c)x+2c0,即(x-2)(x-c)0.当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为{x|2xc};当c2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为{x|cx2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)0的解集为φ.所以,当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为{x|2xc};当c2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为{x|cx2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc0