15-地图投影概述与正形投影

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地图投影概述椭球面到球面的正形投影测绘学院一系大地测量教研室《大地测量学基础》(FOUNDATIONOFGEODESY)一、球面三角学的基本知识二、参考椭球三、大地坐标系与大地空间直角坐标系的关系四、法截线与大地线五、地面边角观测元素归算至椭球面六、大地坐标系与大地极坐标系的关系参考椭球面与大地坐标系上一章内容回顾重点概念的理解;重点公式的推导;抽象概念的图形化;强调测量背景。地面观测元素天文方位角距离方向高斯平面上的元素坐标方位角距离方向大地坐标(L,B)平面坐标(x,y)归算归算概算概算椭球面上的元素大地方位角距离方向控制网点坐标平差平差地面点水平坐标的确定天体的二维位置天文观测椭球定位地图投影概述Introductionofmapprojections1.投影的意义Significanceofprojection2.地图投影的定义DefinitionofMapprojections3.投影方程Equationofprojection4.投影变形Deformationofprojection5.地图投影的分类Classificationofprojection6.地图投影的应用Applicationofprojection1、投影的意义Significanceofprojection1)大地经纬度仅适用于角度测量,不适用与距离和面积等测量;2)适用于平面测量的直尺、量角仪等设备无法用于球状模型;3)通常椭球模型所表示的比例尺有限,不能表示局部的详细特征;4)大地坐标不能直接用来控制平面测图;5)在椭球面上计算比较复杂。1、投影的意义Significanceofprojection1、投影的意义Significanceofprojection通过地球椭球上的经纬网格,可以方便的表示地面点相对于地球的位置定义:所谓地图投影,简单的讲就是在平面上建立与地球椭球面上相对应的经纬网的数学法则。研究这些法则的专门学科,叫做地图投影学(MapProjections)。2、地图投影的定义Definitionofprojection任务:研究将地理坐标描写到平面上建立地图数学基础的各种可能的方法;讨论这些方法的理论、变形规律、使用价值以及不同投影坐标的互相换算等问题。12(,)(,)xFBLyFBLB,L是地球椭球(或球)表面点的大地坐标,x,y是平面上相应点的直角坐标。函数F1,F2在一定的域内必须是单值,有限且连续的。3、投影方程Equationofprojection描述了椭球面与平面之间点与点的一一对应关系3、投影方程Equationofprojection将本来是不可展平的椭球面,人为地转变成平面。由此得到的平面元素必然要产生投影变形。投影变形包括长度变形、角度变形和面积变形4、投影变形Deformationofprojection4、投影变形Deformationofprojection1)长度比Lengthratio)''(lim1101PPPPmPPdSdsm2)主方向Maindirection椭球面上某点的长度比不仅随点的位置变化而变化,而且还会随着点的方向变化而变化;4、投影变形Deformationofprojection过椭球面上某点,通常有两条互相正交的曲线,它们在平面上的投影曲线也是互相正交的,这样两条曲线所在的方向叫主方向。可以证明长度比在主方向上有极限存在,所以也可说,长度比极值所在的方向称为主方向O’J'K’I1'K1'I'OKIK1I1J4、投影变形Deformationofprojection2)主方向MaindirectionKK'3)变形椭圆Deformationellipse应用:变形椭圆的形状可以形象地反映出投影变形在各个方向的分布情况4、投影变形Deformationofprojection定义:一个以两个主方向为轴,以两个长度比极值为长短半径的椭圆OAOB'''AOx'''BOyP点坐标P'点坐标aOAAO''bOBBO''ax'by'设主方向的长度比分别为a和b,按长度比定义:1221''2222byaxO’A’P’B’x’y’'OAPBξη3)变形椭圆Deformationellipse意义:3)变形椭圆Deformationellipsea)椭球面上的微分圆,投影后为一微分椭圆;b)圆中与主方向重合的一对直径,投影后成为椭圆的长轴和短轴。在这两个方向上,长度比具有极值,一个为最大,一个为最小;c)变形椭圆的形状、大小和方向,是由投影条件决定的。它们因投影条件不同而不同,并在同一投影中因点位不同而各异。4)投影变形的种类Classificationofprojectiondeformation1mr定义:长度比m与1之差,用r表示,即量级:m值可能大于、小于、等于1,因此r值可能为正、为负或为零。a)长度变形DeformationofLength4、投影变形Deformationofprojectionb)方向变形DeformationofOrientationO’A’P’B’x’y’'OAPBξη)'(xytantantantanabtantantantantantanabaabacoscos)sin(tantancoscos)sin(tantan)'sin()'sin(baba公式:)'sin()'sin(baba公式分析:ba0tanab0tanb)方向变形当α=α‘=0º(或90º)时,等式成立,可见主方向没有方向变形。当α+α'=90º(或270º)时,方向变形最大,如此时的方位角为α0和α0',最大方向变形用ω’表示则:00'9000sin'sin'ababc)角度变形DeformationofAngle定义:设椭球面上一个角度u,投影到平面上为u',则(u-u')称为角度变形)'()'()()''('11221212uuu)'sin(arcsin)'sin(arcsin1122babababau4)投影变形的种类Classificationofprojectiondeformation4、投影变形Deformationofprojectionc)角度变形-角度变形的最大值ω'P1P'P''x'y1'P'2sin'sin'ababsin2ababsin'ababd)面积变形DeformationofArea定义:椭球面上单位圆的面积为π,投影后变形椭圆的面积为πab,所以投影的面积比为PababP面积变形为(P-1)4)投影变形的种类Classificationofprojectiondeformation4、投影变形Deformationofprojectione)描述一点投影变形的微分量Pab4)投影变形的种类Classificationofprojectiondeformation4、投影变形DeformationofprojectiondsmdSmambsin2abab按投影面来分,有圆锥投影、圆柱投影、平面投影等按创始人的姓名命名,如兰勃特、墨卡托、高斯投影等按变形性质来分,则有等角、等面积、任意投影等5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection5、地图投影的分类Classificationofprojection0baba①等角投影)'sin(arcsin)'sin(arcsin1122babababau0u5、地图投影的分类Classificationofprojectiona)主方向的长度比相等,即椭球面上某点的长度比是一常数,它不随方向而变化;①等角投影5、地图投影的分类Classificationofprojectionb)椭球面上一个微分圆,投影后仍为一微分圆,投影前后保持微小图形相似,也称为正形投影;c)等角投影时,经纬线的投影曲线仍然保持正交,顾及a=b,则mL=mB。②等积投影面积变形:11pab等积投影的条件:1ab③任意投影,1abab等距离投影:11ab或5、地图投影的分类Classificationofprojection等面积投影:多用于行政区划图、经济图等;任意投影:适用于一般要求不太严格的地图,其中等距离投影在某方向上长度不变形,但面积、角度以及其它方向上的长度都有变形,它适用于普通地图和交通图;6、地图投影的应用Applicationofprojection等角投影:保持角度不变形,即也保持了小范围内图形相似。它便于地形图的测制和应用,对于军事上、工程上的定位和定向也很有实用价值。多用于国家基本地形图以及航海图、航空图等。6、地图投影的应用Applicationofprojection椭球面到平面的正形投影OrthomorphicMapProjection1、正形投影的特点CharacteristicofConformalProjection2、正形投影的条件ConditionofConformalProjection①等量坐标②正形投影条件的推导长度比m与方向无关但随点位的变化而变1、正形投影的特点CharacteristicofConformalProjection①在投影的任一点上,各方向微分线段的长度比不随方向而变化,或着说在该点上长度比为一常数。因此变形椭圆的两个主方向的长度比相等,即要求a=b②该点上,任何两条微分线段的交角,等于椭球面上相应的角度,也就是说角度没有变形,即要求0sinbabaab2、正形投影的条件ConditionofConformalProjection①等量坐标22222dLrdBMdSrdLdSMdBdSBL只能将椭球面划分为无穷小的矩形dLdlLLl0等量经度dBrMdq等量纬度])()[(2222dldqrdSrdldSrdqdSBL将椭球面划分为无穷小的正方形②正形投影条件的推导2、正形投影的条件ConditionofConformalProjectiona)由长度比定义,导出长度比的具体公式;b)根据长度比m与方位角A无关,导出正形投影的一般条件基本思路:正形投影区别于其它投影的特征。就是:在正形投影中长度比与方向无关。步骤②正形投影条件的推导a)长度比公式222)()(dydxds])()[()()()(2222222dldqrdydxdSdsm),(),(21lqfylqfxxxdxdqdlqlyydydqdlql2、正形投影的条件ConditionofConformalProjection②正形投影条件的推导a)长度比公式2222222222xxyydsdqdldqdlqlqlxyxyxxyydqdldqdlqqllqlql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