2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程直线的交点坐标与距离公式--答案

信心、专心、恒心第1页共6页§9.2直线的方程、直线的交点坐标与距离公式答案1.直线方程的五种形式:点斜式方程是y－y0＝k(x－x0)；不能表示的直线为垂直于x轴的直线斜截式方程为bkxy；不能表示的直线为垂直于x轴的直线两点式方程为121121xxxxyyyy；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1byax；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式方程为0cbyax.2.几种特殊直线的方程:①过点),(baP垂直于x轴的直线方程为x＝a;过),(baP垂直于y轴的直线方程为y＝b②已知直线的纵截距为b,可设其方程为bkxy;③已知直线的横截距为a,可设其方程为amyx;④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y＝kx3.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.②已知直线111:bxkyl,222:bxkyl,若1l,与2l相交,则21kk;若21ll,则121kk;若1l//2l,则21kk且21bb;若1l与2l重合,则,21kk且21bb4.几个公式①已知两点),(),,(222111yxPyxP,则||21PP221221)()(yyxx②设点),(00yxA，直线,0:CByAxl点A到直线l的距离为d2200||BACByAx③设直线,0:1CByAxl),(0:2CCCByAxl则1l与2l间的距离d22||BACC5.直线系①与直线0CByAx平行的直线系方程为0CByAx;信心、专心、恒心第2页共6页②与直线0CByAx垂直的直线系方程为0CAyBx;③过两直线0:,0:22221111cybxalcybxal的交点的直线系方程为为参数）(,0)(222111cybxacybxa1.答案②2.答案x＋y－5＝03.答案54.答案2x＋y＝05.答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0例1解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a＝0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y＝32x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为1byax，∵l过点（3，2），∴123aa，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0,综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y－2＝k(x－3),令y＝0，得x＝3－k2,令x＝0,得y＝2－3k,由已知3－k2＝2－3k，解得k＝－1或k＝32,∴直线l的方程为：y－2＝－（x－3）或y－2＝32(x－3),即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.（2）由已知：设直线y＝3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan＝3,∴tan2＝2tan1tan2＝－43.又直线经过点A（－1，－3），因此所求直线方程为y＋3＝－43(x＋1),即3x＋4y＋15＝0.例2解方法一设直线的方程为1byax(a＞2,b＞1),由已知可得112ba.（1）∵2ba12≤ba12＝1，∴ab≥8.∴S△AOB＝21ab≥4.当且仅当a2＝b1＝21,即a＝4,b＝2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为24yx＝1,即x＋2y－4＝0.（2）由a2＋b1＝1,得ab－a－2b＝0,变形得(a－2)(b－1)＝2,|PA|·|PB|＝22)01()2(a·22)1()02(b＝]4)1[(]1)2[(22ba≥)1(4)2(2ba.当且仅当a－2＝1,b－1＝2,即a＝3,b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A0,12k、B（0，1－2k）.基础自测··信心、专心、恒心第3页共6页（1）S△AOB＝21k12（1－2k）＝21×)1()4(4kk≥21（4＋4）＝4.当且仅当－4k＝－k1,即k＝－21时取最小值，此时直线l的方程为y－1＝－21(x－2),即x＋2y－4＝0.（2）|PA|·|PB|＝22441)1(kk＝84422kk≥4,当且仅当24k＝4k2,即k＝－1时取得最小值，此时直线l的方程为y－1＝－(x－2),即x＋y－3＝0.例3解:方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，－4），B（3，－9），截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5,符合题意.4分若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1,分别与直线l1,l2的方程联立，由011)3(yxxky,解得A141,123kkkk.8分由061)3(yxxky,解得B191173kk，kk,由两点间的距离公式，得2173123kkkk＋2191141kkkk＝25，解得k＝0,即所求直线方程为y＝1.12分综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.14分方法二设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋y1＋1＝0,x2＋y2＋6＝0,两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①6分又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25②联立①②可得052121yyxx或502121yyxx,12分由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x＝3或y＝1.14分例4解方法一由132xyxy知直线l1与l的交点坐标为（－2，－1），∴设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2),即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得221122kkk＝22)1(2322，解得k＝21(k＝2舍去)，∴直线l2的方程为x－2y＝0.方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P22,200yyxx在直线l上.∴122110000xxyyxxyy，变形得1100xyyx,代入直线l1:y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3,整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.·信心、专心、恒心第4页共6页1.解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y＝kx,将（－5，2）代入y＝kx中，得k＝－52，此时，直线方程为y＝－52x,即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ayax2＝1，将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－21，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan＝43.于是tan2＝sincos1＝3153541,tan2＝724)43(1432tan1tan222,所以所求直线l1的方程为y－6＝31(x－8),即x－3y＋10＝0,l3的方程为y－6＝724(x－8),即24x－7y－150＝0.2.解方法一设直线l的方程为1byax（a＞0,b＞0）,∴A(a,0),B(0,b),∴.123,24baab解得.4,6ba∴所求的直线方程为46yx＝1,即2x＋3y－12＝0.方法二设直线l的方程为y－2＝k(x－3),令y＝0,得直线l在x轴上的截距a＝3－k2,令x＝0,得直线l在y轴上的截距b＝2－3k.∴k23(2－3k)＝24.解得k＝－32.∴所求直线方程为y－2＝－32(x－3).即2x＋3y－12＝0.3.解(1)l2即为2x－y－21＝0,∴l1与l2的距离d＝1057)1(2)21(22a,∴521a＝1057,∴21a＝27,∵a＞0,∴a＝3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且53C＝52121C，即C＝213或C＝611，∴2x0－y0＋213＝0或2x0－y0＋611＝0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式53200yx＝52×2100yx，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不满足题意.联立方程042021320000yxyx，解得,21,300yx(舍去).由,042,061120000yxyx解得18379100yx信心、专心、恒心第5页共6页∴假设成立，P1837,91即为同时满足三个条件的点.4.解方法一由.0723,052yxyx得.2,1yx∴反射点M的坐标为（－1,2）.又取直线x－2y＋5＝0上一点P（－5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′＝－32＝500xy.而PP′的中点Q的坐标为2,2500yx,Q点在l上，∴3·250x－2·20y＋7＝0.由.07)5(23,3250000yxxy得.1332,131700yx根据直线的两点式方程可得l的方程为：29x－2y＋33＝0.方法二设直线x－2y＋5＝0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),则3200xxyy,又PP′的中点Q2,200yyxx在l上，∴3×20xx－2×20yy＋7＝0,由07)(23320000yyxxxxyy可得P点的坐标为x0＝1342125yx，y0＝1328512yx，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.答案22.答案x＋3y－15＝03.答案－324.答案x＋2y－3＝05.答案2x＋y－6＝06.答案30°或150°7.答案2x－y＋8＝08.答案(1,＋∞)二、解答题9.解:(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4,它在x轴，y轴上的截距分别是－k4－3，3k＋4由已知，得（3k＋4）（k4＋3）＝±6，解得k1＝－32或k2＝－38.直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y＝61x＋b,它在x轴上的截距是－6b,由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.10.解（1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1.∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·（x－1）即x－y＝0.由,0,01yxyx解得l与QQ′的交点M的坐标为21,21.又∵M为QQ′的中点，由此得21212121''yx.解之得.2,2''yx∴Q′（－2，－2）.设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线.则P（2，3），Q′（－2，－2），信心、专心、恒心第6页共6页得入射线方程为222232xy，即5x－4y＋