2011年高考数学二轮考点专题突破三角函数求值与解三角形

-1-第二讲三角函数求值与解三角形一、选择题1．(2009·辽宁卷)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－43B.54C．－34D.45解析：原式＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45，故选D.答案：D2．若cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝－45，又β∈π，3π2，则cosβ2的值为()A．1010B．31010C．－1010D．－31010解析：cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝－45.∵πβ3π2，∴π2β23π4.cosβ＝2cos2β2－1＝－45，∴cos2β2＝110.∴cosβ2＝－1010.答案：C3．(2010·湖北，3)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.63B.223C．－63D．－223解析：由正弦定理得，sinB＝10×sin60°15＝33.∵ab，∴B60°，∴cosB＝1－332)＝63，故选A.答案：A4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac∴a2＋c2－b22ac·tanB＝32，即cosB·tanB＝sinB＝32.-2-∵0Bπ，∴角B的值为π3或2π3.答案：D5．(2010·课标全国)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2解析：∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcosα＝25－45＝－12.故选A.答案：A二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)，即cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，整理得cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．又β为锐角，则cosα＝sinα，即tanα＝1.答案：17．在△ABC中，若sinA＝35，cosB＝513，则sinC＝________.解析：由已知B为锐角，sinB＝1213.又sinBsinA，则A为锐角，∴cosA＝45.因此sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6365.-3-答案：63658．满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．解析：设BC＝a，则AC＝2a，由AB＝2，可得2＋1a2，2－1a2，解之得22－2a22＋2，又cosC＝a2＋2a2－422a2＝3a2－422a2，得sinC＝8a4－3a2－4222a2，∴S△ABC＝12a×2asinC＝148a4－3a2－42＝14128－a2－122，∵a2∈(12－82，12＋82)，∴当a2＝12，即a＝23时，△ABC的面积最大，即S△ABC最大值＝14128＝22.答案：229．(2009·湖南)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________]解析：由正弦定理BCsinA＝ACsinB，则ACcosA＝BCsinBsinAcosA＝2BCsinBsin2A＝2.由A＋B＋C＝π得3A＋C＝π，即C＝π－3A.由已知条件：0Aπ202Aπ20π－3Aπ2，解得π6Aπ4.由AC＝2cosA知2AC3.答案：2(2，3)三、解答题-4-10．已知：cosα－sinα＝325，(1)求μ＝15sin2αcosα＋π4的值；(2)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，且f(－1)＝320，求f(μ)的值．解：(1)由cosα－sinα＝325，得cosα＋π4＝35.又因为sin2α＝＝－cosπ2＋2α＝1－2cos2α＋π4＝725，所以μ＝15sin2αcosα＋π4＝7(2)由题意函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称．所以f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(μ)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.11．(2010·安徽)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sinπ3＋Bsinπ3－B＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．解：(1)因为sin2A＝32cosB＋12sinB32cosB－12sinB＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.(2)由AB→·AC→＝12可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③③＋②×2，得(c＋b)2＝100，-5-所以，c＋b＝10，因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由cb知c＝6，b＝4.12．(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时