2011年高考数学必做100题(必修2)

2011年高考数学必做100题（必修2）菁优网©2010-2013菁优网2011年高考数学必做100题（必修2）一、解答题（共16小题，满分192分）1．（12分）圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．2．（12分）如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．3．（12分）直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体．想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积．4．（12分）已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．5．（12分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：．6．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．菁优网©2010-2013菁优网7．（12分）（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．8．（12分）已知A（1，﹣1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．9．（12分）求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．10．（12分）三角形的三个顶点是A（﹣1，0）、B（3，﹣1）、C（1，3）．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求BC边上的中线所在的直线方程；（Ⅲ）求BC边的垂直平分线的方程．11．（12分）在x轴上求一点P，使以点A（1，2）、B（3，4）和点P为顶点的三角形的面积为10．12．（12分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．13．（12分）△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1）、B（7，﹣3）、；C（2，﹣8），求它的外接圆的方程．14．（12分）已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点轨迹方程．15．（12分）过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为，求直线l方程．16．（12分）求圆心在直线x﹣y﹣4=0上，并且经过圆x2+y2+6x﹣4=0与圆x2+y2+6y﹣28=0的交点的圆的方程．菁优网©2010-2013菁优网菁优网©2010-2013菁优网2011年高考数学必做100题（必修2）参考答案与试题解析一、解答题（共16小题，满分192分）1．（12分）圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．考点：简单组合体的结构特征．3847928专题：计算题；作图题．分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．解答：解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分）设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D1=．作SO⊥EF于O，则SO=，OE=1，（5分）∵△ECC1～△EOS，∴，即（10分）∴，即内接正方体棱长为cm（12分）点评：本题考查组合体的结构特征，考查三角形相似，空间想象能力，是中档题．2．（12分）如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．考点：组合几何体的面积、体积问题．3847928专题：计算题；综合题．分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据可求其表面积和体积．解答：解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面（3分）S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．故所求几何体的表面积为68π（7分）由，（9分）菁优网©2010-2013菁优网（11分）所以，旋转体的体积为（12分）点评：本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．3．（12分）直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体．想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积．考点：简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积．3847928专题：计算题；作图题．分析：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，由三视图求面积和体积，由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，我们易得到直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，由其形状，易画出三视图并求出他们的表面积和体积．解答：解：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正（侧）视图、俯视图依次分别为：（2分）其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为；（3分）体积为．（4分）同理可求得当绕3cm边旋转时，S=36π（cm2），V=16π（cm3）．（8分）其正（侧）视图、俯视图依次分别为：其正（侧）视图、俯视图依次分别为：菁优网©2010-2013菁优网得当绕4cm边旋转时，S=24π（cm2），V=12π（cm3）．（12分）点评：直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体．4．（12分）已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且．求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点．考点：平面的基本性质及推论．3847928专题：证明题．分析：（1）由E、H分别是AB、AD的中点，根据中位线定理，我们可得，EH∥BD，又由F、G分别是BC、CD上的点，且．根据平行线分线段成比例定理的引理，我们可得FG∥BD，则由平行公理我们可得EH∥FG，易得E、F、G、H四点共面；（2）由（1）的结论，直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，而由于AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理3知P∈AC．故三线共点．解答：证明：（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EHBD又∵，∴FGBD．∴EH∥FG所以，E、F、G、H四点共面．（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，∴由公理3知P∈AC．所以，三条直线EF、GH、AC交于一点点评：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三菁优网©2010-2013菁优网线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理．5．（12分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：．考点：平面与平面平行的性质．3847928专题：证明题．分析：由题意连接AF，交β于G，连BG，EG，根据α∥β∥γ，得出比例关系进行求证．解答：证明：连接AF，交β于G，连BG，EG，（3分）则由β∥γ得．（7分）由α∥β得，（10分）所以．（12分）点评：此题考查平面与平面平行的性质，利用β∥γ得．从而求证，此题是一道好题．6．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．考点：直线与平面垂直的判定；三角形五心．3847928专题：证明题．分析：（1）连B1D1，要B1D⊥平面A1C1B，只需证明直线B1D垂直平面A1C1B内的，两条相交直线A1C1、A1B即可；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心，类比推出，点H是△A1C1B的垂心．解答：证明：（1）连B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，因此A1C1⊥B1D．同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B．（6分）（2）连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心．菁优网©2010-2013菁优网又△A1BC1为正三角形，所以H是△A1BC1的中心，也是△A1BC1的重心．（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．7．（12分）（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定．3847928分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．（12分）已知A（1，﹣1），B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．3847928专题：综合题；转化思想；综合法．分析：此题求D的坐标，需要建立其横纵坐标的方程，由题设条件知直线CD⊥AB，且CB∥AD，将此位置关系转化为方程，即可求出点D的坐标．解答：解：设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率KAB=3，（2分）菁优网©2010-2013菁优网直线CD的斜率KCD=，直线CB的斜率KCB=﹣2，直线AD的斜率KAD=．（8分）由CD⊥AB，且CB∥AD，得，（11分）所以点D的坐标是（0，1）（12分）点评：本题考点是两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系，考查用两直线垂直斜率的乘积为﹣1，两直线平行斜率相等（此时斜率都存在为前提），利用这一关系转化为相应的方程求坐标．9．（12分）求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．考点：直线的截距式方程．3847928分析：截距相等，有两种情况，一是直线过原点，一是直线的斜率是﹣1，分别求出直线方程即可．解答：解：因为直线l经过点