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第十章排列组合和二项式定理第一节两个计数原理知识自主·梳理最新考纲掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．高考热点以选择题或填空题的形式考查两个计数原理的应用以及对实际问题的分析处理能力.1.分类计数原理与分步计数原理的概念(1)完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和，这就是原理．(2)完成一件事，需要分成步骤，每一步的完成，则完成这件事的不同方法种数是，这就是分步计数原理．分类计数几个有多种不同的方法各步中不同的方法数的乘积2．分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，都是涉及的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与有关，各种方法，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了．完成一件事相互独立分步相互依存分类1．“分类”与“分步”，应该如何理解？(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．重点辨析(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤．分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成．2．分类计数原理与分步计数原理，如何选用？两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理.方法规律·归纳题型一分类计数原理的应用思维提示要根据元素的不同的性质进行分类，关键在于分类标准.例1高三(1)班有学生50人，男30人，女20人，高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？[分析]具备分类计数原理的条件．[解](1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；从高三(3)班中选一人有55种选法，∴共有50＋60＋55＝165(种)．(2)从高三(1)、(2)班男生中选有30＋30＝60(种)，从高三(3)班女生中选有20种，∴共有30＋30＋20＝80(种)．[规律总结]运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性.备选例题1三边长均是正整数，且最大边边长为11的三角形的个数为()A．25B．26C．36D．37解析：另两边边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.分情况讨论：(1)当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可构成三角形11个；(2)当y取值10时，x＝2,3,4，…，10，可构成三角形9个；(3)当y取值9时，x＝3,4,5，…，9，可构成三角形7个；(4)当y取值8时，x＝4,5,6,7,8，可构成三角形5个；(5)当y取值7时，x＝5,6,7，可构成三角形3个；(6)当y取值6时，x＝6，可构成三角形1个．∴由分类计数原理得满足条件的三角形个数为N＝11＋9＋7＋5＋3＋1＝36答案：C题型二分步计数原理的应用思维提示要根据事件发生的过程进行分步，关键在于正确设计分步程序例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？[分析]本例实质是分步计数原理的应用．这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法．[解](1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限内点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．[规律总结]运用分步计数原理时，需要确定分步的标准．分步必须满足；完成一件事必须且只需连续完成这几步，即各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这件事才算完成，但要注意“步”与“步”的连续性。备选例题2用n种不同颜色为广告牌着色(如图1)，要求在①、②、③、④4个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)当n＝6时，为图1着色共有多少种不同的着色方法？(2)若为图2着色时共有120种不同的着色方法，求n.解：(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有6×5×4×4＝480种着色方法．(2)图2与图1的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)(n－2)(n－3)．由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120⇒(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0⇒(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0⇒n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0⇒n＝5.题型三两个计数原理的综合应用思维提示在处理具体的应用问题时，必须弄清是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”，然后根据两个计数原理去计算.例3中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座．现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，则不同的着装方法共有多少种？[分析]可把四个区域分为两种情况：A与C、B与D.先讨论A与C的着装，后讨论B与D的着装．[解]当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有4×3×2×1＝24种不同的方法；当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有2×4×3×2＝48种不同的方法；当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4×3＝12种不同的方法．由分类计数原理知共有24＋48＋12＝84种不同的着装方法．[规律总结]首先要明确“完成一件事”是需分类还是分步；分类时，类与类之间应避免交叉重复且要互补；分步时，步与步之间应有连续性．其次对较复杂的问题，一般是先分类，各类之中再分步，分类时要注意选好分类标准，设计好分类方案，要防止重复和遗漏.备选例题3标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，∴应有1＋3＝4(种).一、主体选择错误例13个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同的选法有多少种？[解题思路]每个班都有5个风景点可选，故不同的选法有53种．[错因分析]解决问题时使用正确的完成任务的策略至关重要，主体选择错误，使问题无法完成或情况纷杂，自然很难得到正确的完成任务的策略，而误得出35种．二、分类、分步不严密错误例2甲乙两个自然数的最大公约数为720，问甲乙两数的公约数共有多少个？[解题思路]因为720＝24·32·5，其约数的一般形式为2m·3n·5p，其中m∈{0,1,2,3,4}，n∈{0,1,2}，p∈{0,1}，确定约数分三步进行，确定m、n、p的选法分别为5种，3种和2种，由分步计数原理，共有5×3×2＝30个公约数．[错因分析]把题中的m、n、p取值不全，如m∈{1,2,3,4}，n∈{1,2}，p＝1而得出4×2×1＝8个公约数．