2011年高考数学答案(理科)(全国卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题1．复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzzA．2iB．iC．iD．2i2．函数2(0)yxx≥的反函数为A．2()4xyxRB．2(0)4xyx≥C．24yx()xRD．24(0)yxx≥3．下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是A．1ab＞B．1ab＞C．22ab＞D．33ab＞4．设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则kA．8B．7C．6D．55．设函数()cos(0)fxx＞，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于A．13B．3C．6D．96．已知直二面角α−ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A．23B．33C．63D．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A．4种B．10种C．18种D．20种8．曲线y=2xe+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为A．13B．12C．23D．19．设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()fx=2(1)xx，则5()2f=A．-12B．1 4C．14D．1210．已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A，B两点．则cosAFB=A．45B．35C．35D．4511．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为A．7B．9C．11D．1312．设向量a，b，c满足a=b=1，ab=12，,acbc=060，则c的最大值等于A．2B．3C．2D．1第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．第Ⅱ卷共l0小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．）13．（1-x）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:．2y214．已知a∈（2，），sinα=55，则tan2α=15．已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=．16．己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求C．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD．（Ⅰ）证明：SDSAB平面;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设数列na满足10a且1111.11nnaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设111,,1.nnnnknkabbSn记S证明：21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足0.OAOBOP（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xfxxx，证明：当0x＞时，()0fx＞；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p．证明：19291()10pe参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4．只给整数分数，选择题不给中间分。一、选择题1—6BBADCC7—12BAADDA二、填空题13．014．4315．616．23三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：由2acb及正弦定理可得sinsin2sin.ACB…………3分又由于90,180(),ACBAC故cossin2sin()CCAC2sin(902)C2cos2.C…………7分22cossincos2,22CCCcos(45)cos2.CC因为090C，所以245,CC15C18．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；（I）()0.5,()0.3,,PAPBCAB…………3分()()()()0.8.PCPABPAPB…………6分（II）,()1()10.80.2,DCPDPC~(100,0.2)XB，即X服从二项分布，…………10分所以期望1000.220.EX…………12分19．解法一：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则,3.SEABSE又SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。…………3分由,,ABDEABSEDESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以SD平面SAB。…………6分（II）由AB平面SDE知，平面ABCD平面SED。作,SFDE垂足为F，则SF平面ABCD，3.2SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则SGBC，又,BCFGSGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG。…………9分作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC。37SFFGFHSG，即F到平面SBC的距离为21.7由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有21.7设AB与平面SBC所成的角为α，则2121sin,arcsin.77dEB…………12分解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。又设(,,),0,0,0.Sxyzxyz则（I）(2,2,),(,2,)ASxyzBSxyz，(1,,)DSxyz，由||||ASBS得222222(2)(2)(2),xyzxyz故x=1。由22||11,DSyz得又由222||2(2)4,BSxyz得即2213410,,.22yzyyz故…………3分于是133333(1,,),(1,,),(1,,)222222SASBS，13(0,,),0,0.22DSDSASDSBS故,,,DSADDSBSASBSS又所以SD平面SAB。…………6分（II）设平面SBC的法向量(,,)amnp，则,,0,0.aBSaCBaBSaCB又33(1,,),(0,2,0),22BSCB故330,2220.mnpn…………9分取p=2得(3,0,2),(2,0,0)aAB又。21cos,.7||||ABaABaABa故AB与平面SBC所成的角为21arcsin.720．解：（I）由题设1111,11nnaa即1{}1na是公差为1的等差数列。又1111,.11nnaa故所以11.nan（II）由（I）得11,11111nnabnnnnnnn，…………8分11111()11.11nnnkkkSbkkn…………12分21．解：（I）F（0，1），l的方程为21yx，代入2212yx并化简得242210.xx…………2分设112233(,),(,),(,),AxyBxyPxy则122626,,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得3123122(),()1.2xxxyyy所以点P的坐标为2(,1).2经验证，点P的坐标为2(,1)2满足方程221,2yx故点P在椭圆C上。…………6分（II）由2(,1)2P和题设知，2(,1)2QPQ的垂直平分线1l的方程为2.2yx①设AB的中点为M，则21(,)42M，AB的垂直平分线为2l的方程为21.24yx②由①、②得12,ll的交点为21(,)88N。…………9分222212222221311||()(1),288832||1(2)||,232||,4221133||()(),48288311||||||,8NPABxxAMMNNAAMMN故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分22．解：（I）22'()(1)(2)xfxxx，…………2分当0,'()0xfx时，所以()fx为增函数，又(0)0f，因此当0,()0.xfx时…………5分（II）20100999881.100p又222998190,988290,,918990，所以199(),10p…………9分由（I）知：当20,ln(1),2xxxx时因此2(1)ln(1)2.xx在上式中，令1921101