15届工大都柏林高数期中习题和答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为532，，和314，，，则该球面的方程为______________________2、函数22ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为3、曲面22zxy与平面240xyz平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sinlim()exyxyxyxyxy5、设二元函数yxxyz32，则yxz2_______________二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。1、旋转曲面1222zyx是（）（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；（B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；（C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；（D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．2、微分方程23cos2xxxyy的一个特解应具有形式（）其中3212211,,,,,,dddbaba都是待定常数.(A).212211sin)(cos)(xdxbxaxxbxax;(B).32212211sin)(cos)(dxdxdxbxaxxbxax;(C).32212211)sincos)((dxdxdxbxabxax;(D).322111)sin)(cos(dxdxdxxbxax3、已知直线22122:zyxL与平面42:zyx,则（）(A).L在内;(B).L与不相交;(C).L与正交;(D).L与斜交.4、下列说法正确的是（）(A)两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数，使得ba；(B)二元函数yxfz,的两个二阶偏导数22xz,22yz在区域D内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C)二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的充分条件；(D)二元函数yxfz,的两个偏导数在点00,yx处连续是函数在该点可微的必要条件.5、设),2,2(yxyxfz且2Cf（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则yxz2（）(A)122211322fff;(B)12221132fff;(C)12221152fff;(D)12221122fff.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。(1)（6分）221xyyxy(2)（7分）xxeyyy2232、（本题8分）设utuvzcos2，teu，tvln，求全导数dtdz。3、（本题8分）求函数yyxeyxfx2,22的极值。四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222),(（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线011xczbyl：，012yczaxl：，求过1l且平行于2l的平面方程．2、（本题11分）设函数(,,)lnln3lnfxyzxyz在球面22225(0,0,0)xyzRxyz上求一点，使函数(,,)fxyz取到最大值．六、证明题（本题共12分）1、设函数xyxzFxuk,，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试证明:zuzyuyxuxxyxzFkxk,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、21113222zyx2、12．3、2450xyz．4、05、232xy；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：xxyyd)1(1d2上式两端积分得cxxxxyyy2)d1(arctan1d22即：cxxy2arctan2其中c为任意常数．（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232rr特征根为,11r,22r于是，该齐次方程的通解为,221xeCxCY因2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*xebxbxy代入题设方程,得,22010xbbxb比较等式两端同次幂的系数,得,210b,11b于是，求得题没方程的一个特解*y.)121(2xexx从而，所求题设方程的通解为.)121(2221xxxexxeCeCy2、解：utvutuvuuzsincos22，uvutuvvvz2cos2，utzcos依复合函数求导法则，全导数为dtdttzdtdvvzdtduuzdtdz1cos12sin2utuveutvttttteteteettcosln2sinln23、解：解方程组022,01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx，得驻点1,21。由于124,22yyxeyxfAxxx，142yexyfBxxy，xyyeyxfC22,在点1,21处，02eA，0B，eC2，224eBAC，所以函数在点1,21处取得极小值，极小值为21,21ef。四、应用题（本题8分）1、解：即求成本函数yxc,在条件8yx下的最小值构造辅助函数)8(2,22yxxyyxyxF解方程组080402yxFyxFyxFyx解得3,5,7yx这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22c（万）五、综合题（本大题共21分）1、解：直线1l与2l的方向向量分别为bccb1100011101，，，，，，s，acca1010101012，，，，，，s，作221111cbcca，，ssn，取直线1l上的一点cP，，001，则过点1P且以2111cbcca，，n为法向量的平面01czbyax，就是过1l且平行于2l的平面方程．2、解：设球面上点为(,,)xyz．令2222(,,,)lnln3ln(5)LxyzxyzxyzR，222211120,20,20,503xyzLxLyLzLxyzRxyz由前三个式子得2223zxy，代入最后式子得,3xyRzR．由题意得(,,)fxyz在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,,3)RRR就是最大值点，最大值为5(,,3)ln(33)fRRRR．六、证明题（本题共12分）1、证明：22211,,,xyxyxzFxxzxyxzFxxyxzFkxxukkkxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxkkk,,,22121xyxzFxxxyxzFxyukk,1,212xyxzFxxxyxzFxzukk,1,111所以，zuzyuyxuxxyxzFyxxyxzFzxxyxzFkxxkkk,,,22121xyxzFxzxyxzFxykk,,1121xyxzFkxk,