15广义逆的计算及应用

128第十五讲广义逆的计算及应用一、由Hermite标准形求{1}-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite标准形。设mnrAC，存在满秩矩阵mmmEC，是EAB（Hermite标准形）,采用置换矩阵P：12llinnPee|e其它rIKEAP0011rIKAEP001.求{1}-逆的方法rnmIMA1PEKN0NL（取阶数合适的M、L）[证明]令rIMXPENL，则1111rrrIKIMIKAXAEPPEEP00NL0011rrIKNMKLIKEP000011rrIKN(IKN)KEP0011rIKEP00A2.{1,2}-逆当XA1时，由定理可知：rankXrankA是XA1,2的充要条件。129rIMXPENL，P、E为满秩方阵rIMrankXrankrankArNLrrIMIM~LNM0NL0LNMrnmIMA1,2PEKN0,LNMNL二、由满秩分解求广义逆对A进行满秩分解：AFG，mnrAC，mrrFC，rnrGC[定理]设mnrAC，其满秩分解为AFG，则（1）(i)(1)GFAii1,2,4（2）(1)(i)GFAii1,2,3（3）(1)GFA1,2,3，(1)GFA1,2,4（4）(1,3)(1,4)AGFGF（5）HH1H1HHHH1HAGFG(GG)(FF)FG(FAG)F证明思路：（1）（2）代入相应的Penrose方程即可证之，由（1）（2）（3）（4）（5）三、矩阵方程AXBD的相容性条件及通解定理1.矩阵方程AXBD相容（有解）的充要条件：(1)(1)AADBBD在相容情况下矩阵方程的通解为：130(1)(1)(1)(1)ADBYAAYBB|Y为阶数合适的任意矩阵[证明]相容性条件的充分性：已知(1)(1)AADBBD，显然有解(1)(1)XADB相容性条件的必要性：已知AXBD有解，设某个解为X，即(1)(1)(1)(1)DAXBAAAXBBBAADBB现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。（1）令(1)(1)(1)(1)XADBYAAYBB，代入AXBDAXBDAYBAYBD集合中的元素为方程的解（2）设X为方程的解，即AXBD(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)XADBXADBADBXAAXBB对应于集合中YX的情况。[得证]由上述证明可见：（1）通解中两个(1)A及两个(1)B完全可以不同。（2）通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。推论1.线性方程组AXb有解的充要条件为：(1)AAbb且通解为(1)(1)nAb(IAA)y|y为列向量推论2.A1(AXAA)的解为如下集合：(1)(1)(1)(1)AAAYAAYAA（四个(1)A可互不相同）四、极小范数解在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。131引理1.方程AXb若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数），且该解在HR(A)中。[证明]设x是方程AXb的解，可将其分解为0xxy，其中H0xR(A)N(A)0xN(A)，yN(A)22222HHH000000022222xxy(xy)(xy)xxyyxyx而000AxAxAyAx0Axb即：0x也是方程的解，也就是HR(A)中存在AXb的解。假设HR(A)中存在方程AXb的两个解1x和2x，即12AxAxb1212AxAx0(xx)N(A)同时12(xx)N(A)12(xx)N(A)N(A)01x＝2x也就是说在HR(A)中方程AXb只有唯一的解（若方程有解）方程的任何其它解的2-范数均大于0x的2-范数0x是极小范数解[得证]由证明可知，方程AXb在HR(A)的解必定是极小范数解。引理2.A1,4由如下方程的通解构成(1,4)XAAA，其中(1,4)A是A的某一个{1,4}-逆。[证明]一方面：上述方程的解一定是A的某一个{1,4}-逆,设X为其解(ⅰ)(1,4)AXAAAAA(ⅳ)(1,4)XAAA是厄米矩阵另一方面：A的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1,4}-逆，132(1,4)A是某个给定的{1,4}-逆，X满足(ⅰ)(ⅳ)Penrose方程(i)(iv)HHHH(1,4)(1,4)(1,4)(1,4)AAAAXAAAXAXAAAXAXA[得证]以上引理说明，对于XA1,4，XA是个不变量。定理2.设方程Axb相容，则(1,4)XAb是方程的极小范数解；反之，若对任意bR(A)，存在X使得Xb成为该方程的极小范数解，则XA1,4。[证明]先证前半部分。推论1(1)Ab是Axb的解(1,4)(1,4)H(1,4)(1,4)(1,4)(1)(1,4)(1)AA1xAbAA4xAbAAAbAAAb是方程的解H(1,4)H(1)HA(A)AbR(A)由引理1知，(1,4)Ab是极小范数解。后半部分：，存在对于任意bR(A)，均有Xb为Axb的极小范数解，即Xb＝(1,4)Ab为极小范数解。因为bR(A)，上式都成立，将b依次取为A的各列，合起来得(1,4)XAAA由引理2知XA1,4定理3.设mnAC，则(1,4)(1,4)mnA1,4AZ(IAA)|ZC该定理的证明可由引理2结合定理1给出。作业：P33423(1)，3(2)