15春福师《实变函数》在线作业一

谋学网福师《实变函数》在线作业一一、判断题（共37道试题，共74分。）1.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.A.错误B.正确正确答案：A2.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞A.错误B.正确正确答案：A3.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。A.错误B.正确正确答案：B4.可数集的测度必为零，反之也成立.A.错误B.正确正确答案：A5.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。A.错误B.正确正确答案：B6.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|=g.A.错误B.正确正确答案：B7.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.A.错误B.正确正确答案：B8.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.A.错误B.正确正确答案：A9.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。谋学网正确正确答案：B10.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].A.错误B.正确正确答案：B11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.A.错误B.正确正确答案：A12.若f有界且m(X)∞,则f可测。A.错误B.正确正确答案：B13.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a).A.错误B.正确正确答案：B14.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.A.错误B.正确正确答案：A15.f可积的充要条件:|f|可积。A.错误B.正确正确答案：B16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。A.错误B.正确正确答案：B17.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f=g,a.e.A.错误B.正确正确答案：B18.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.A.错误B.正确正确答案：B19.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.A.错误B.正确正确答案：A谋学网∈BV，|g|c0,则f/g属于BV。A.错误B.正确正确答案：B21.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].A.错误B.正确正确答案：B22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。A.错误B.正确正确答案：B23.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集A.错误B.正确正确答案：B24.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。A.错误B.正确正确答案：A25.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.A.错误B.正确正确答案：B26.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。A.错误B.正确正确答案：B27.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.A.错误B.正确正确答案：B28.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.A.错误B.正确正确答案：B29.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.A.错误B.正确正确答案：B30.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A.错误谋学网正确正确答案：A31.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.A.错误B.正确正确答案：B32.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a).A.错误B.正确正确答案：A33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A.错误B.正确正确答案：B34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。A.错误B.正确正确答案：B35.零测度集的任何子集都是可测集.A.错误B.正确正确答案：A36.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。A.错误B.正确正确答案：B37.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。A.错误B.正确正确答案：B福师《实变函数》在线作业一二、单选题（共5道试题，共10分。）1.下列关系式中不成立的是（）A.f(∪Ai)=∪f(Ai)谋学网∩(Ai)=f(∩Ai)C.(A∩B)0=A0∩B0D.(∪Ai)c=∩(Aic)正确答案：B2.若A为R^n中一疏集，则（）A.Ac为稠集B.A为开集C.A为孤立点集D.A不完备正确答案：A3.fn-f,a.e.,则A.fn依测度收敛于fB.fn几乎一致收敛于fC.fn一致收敛于fD.|fn|-|f|,a.e.正确答案：D4.fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件正确答案：D5.在（）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.A.mE=0B.0mE+∞C.mE=+∞D.0=mE=+∞正确答案：A福师《实变函数》在线作业一三、多选题（共8道试题，共16分。）1.若f∈AC[a,b]，则（）A.f∈C[a,b]B.f∈BV[a,b]C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dtD.f∈Lip[a,b]谋学网正确答案：ABC2.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2B.若E1包含于E2,mE1=mE2C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1正确答案：ABC3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数正确答案：AB4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（）A.f可测B.|f|可积C.f^2可积D.|f|∞.a.e.正确答案：ABC5.A，B是两个集合，则下列正确的是（）A.f^-1(f（A）)=AB.f^-1(f（A）)包含AC.f(f^-1（A）)=AD.f(A\B)包含f(A)\f(B)正确答案：BCD6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上A.有L积分值B.广义R可积C.L可积D.积分具有绝对连续性正确答案：AD7.若0=g=f且f可积，则（）A.g可积B.g可测C.g∞，a.e.D.当g可测时g必可积正确答案：CD8.若f,g是有界变差函数，则（）A.f+g有界变差函数B.fg有界变差函数C.f/g有界变差函数D.max(f,g)有界变差函数正确答案：ABD谋学网