15机械振动习题解答

第十五章机械振动一选择题1.对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？()A.物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；B.物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；C.物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零；D.物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。答案选C。2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（）A.小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B.竖直悬挂的弹簧振子的运动；C.放在光滑斜面上弹簧振子的运动；D.浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。解：A中小球没有受到回复力的作用。答案选A。3.一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（）A.lgB.lgC.glD.gl解由kl=mg可得k=mg/l，系统作简谐振动时振动的固有角频率为lgmk。故本题答案为B。4.一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t=0，则振动初相为（）A.2πB.0C.2πD.π解由)cos(tAx可得振动速度为)sin(ddtAtxv。速度正最大时有0)cos(t，1)sin(t，若t=0，则2π。故本题答案为A。5.如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为()A.mkk21π2B.mkk21π2C.2121π21.kmkkkD.)km(k.kk2121π21解：设当m离开平衡位置的位移为x，时，劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧的伸长量分别为x1和x2，显然有关系xxx21此时两个弹簧之间、第二个弹簧与和物体之间的作用力相等。因此有2211xkxk1122ddxktxm由前面二式解出2121kkxkx，将x1代入第三式，得到xkkkktxm212122dd将此式与简谐振动的动力学方程比较，并令)km(k.kk21212，即得振动频率)km(k.kk2121π21。所以答案选D。6.如题图所示，质量为m的物体由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为())km(k.kkv.kmkkkvmkkvmkkv212121212121π21D.π21C.π21B.π2A.解：设质点离开平衡位置的位移是x，假设x0，则第一个弹簧被拉长x，而第二个弹簧被压缩x，作用在质点上的回复力为(k1x+k2x)。因此简谐振动的动力学方程k1k2m选择题5图选择题6图mk1k2xkktxm)(dd2122令mkk212，即mkkv21π21所以答案选B。7.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为()A.kA2B.(1/2)kA2C.(1/4)kA2D.0解：每经过半个周期，弹簧的弹性势能前后相等，弹性力的功为0，故答案选D。8.一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为()A.2EB.4EC.ED.16E解：因为221kAE，所以答案选B。9.已知有同方向的两简谐振动，它们的振动表达式分别为cm)π25.010cos(6cm)π75.010cos(521txtx；则合振动的振幅为()A.61cmB.11cmC.11cmD.61cm解)cos(212212221AAAAA61)π75.0π25.0cos(6526522所以答案选A。10.一振子的两个分振动方程为x1=4cos3t，x2=2cos(3t+π)，则其合振动方程应为：（）A.x=4cos(3t+π)B.x=4cos(3tπ)C.x=2cos(3tπ)D.x=2cos3t解：x=x1+x2=4cos3t+2cos(3t+π)=4cos3t2cos3t=2cos3t所以答案选D。11.为测定某音叉C的频率，可选定两个频率已知的音叉A和B；先使频率为800Hz的音叉A和音叉C同时振动，每秒钟听到两次强音；再使频率为797Hz音叉B和C同时振动，每秒钟听到一次强音，则音叉C的频率应为：（）A.800HzB.799HzC.798HzD.797Hz解：拍的频率是两个分振动频率之差。由题意可知：音叉A和音叉C同时振动时，拍的频率是2Hz，音叉B和音叉C同时振动时，拍的频率是1Hz，显然音叉C的频率应为798Hz。所以答案选C。二填空题1.一质量为m的质点在力F=π2x作用下沿x轴运动，其运动的周期为。解：mmkmT2222πππ。2.如图，一水平弹簧简谐振子振动曲线如图所示，振子处在位移为零，速度为ωA、加速度为零和弹性力为零的状态，对应曲线上的点，振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为ω2A和弹性力为kA的状态，则对于曲线上的点。解：b；a、e。3.一简谐振动的振动曲线如图所示，相应的以余弦函数表示的该振动方程为x=_m。解：)2cos(04.0ππt。4.一物体作简谐振动，其振动方程为x=0.04cos(5πt/3π/2)m。(1)此简谐振动的周期T=。(2)当t=0.6s时，物体的速度v=。解：（1）由5π/3=2π/T，得到T=1.2s；（2）v=0.045π/3sin(5πt/3π/2)，当t=0.6s时，v=0.209m.s–1。5.一质点沿x轴做简谐振动，振动中心点为x轴的原点。已知周期为T，振幅为A，(1)若t=0时刻质点过x=0处且向x轴正方向运动，则振动方程为_______；(2)若t=0时质点位于x=A/2处且向x轴负方向运动，则振动方程为_______。解：（1）)2/2cos(TtAx；（2）)32cos(ππTtA6.图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动，旋转矢量的长度为0.04m，旋转角速度ω=4πrad/s，此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为x=。解：t=0时x=0，v0，所以振动的初相位是π/2。故xOxωt=0填空题6图填空题2图xtO1AAabcde填空题3图)m(x)s(tO104.004.02=)24cos(04.0ππt。7.质量为m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T，当它作振幅为A的简谐振动时，此系统的振动能量E=。解：因为222π4Tmmk，所以2222221TAmkAEπ。8.将质量为0.2kg的物体，系于劲度系数k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧原长处将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为__________，振幅为____________。解：1.55Hz；22002=0103vAx.m9.已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定：（1）在s时速度为零；（2）在s时动能最大；（3）在s时加速度取正的最大值。解：（1）0.5(2n+1)，n=0,1,2,3…；（2）n，n=0,1,2,3…；（3）0.5(4n+1)，n=0,1,2,3…。10.一质点作简谐振动，振幅为A，当它离开平衡位置的位移为2Ax时，其动能Ek和势能Ep的比值pkEE=__________。解势能812122pkAkxE，总机械能为221kAE，动能832kkAE。故3pkEE。11.两个同方向同频率简谐振动的表达式分别为)4ππ2cos(100.621tTx(SI)，)4ππ2cos(100.422tTx(SI)，则其合振动的表达式为________________(SI)。解本题为个同方向同频率简谐振动的合成。(1)解析法合振动为21xxx，)4ππ2cos(100.62tTx)4ππ2cos(100.42tT)]π2sin()π2cos(5[1022tTtT)π2cos(102.72tT填空题9图x(m)t(s)1230其中11.3°(2)旋转矢量法如图所示，用旋转矢量A1和A2分别表示两个简谐振动x1和x2，合振动为A1和A2的合矢量A，按矢量合成的平行四边形法则2222102.74610Am，51coscossinsintan22112211AAAA,3.11°故合振动的表达式为)3.11π2cos(102.72tTx三计算题1.已知一个简谐振动的振幅A=2cm，圆频率ω=4πs1，以余弦函数表达运动规律时的初相位=π/2。试画出位移和时间的关系曲线（振动曲线）。解：圆频率ω=4πs1，故周期T=2π/ω=2π/4π=0.5s，又知初相位=π/2，故位移和时间的关系为x=0.02cos（4πt+π/2）m，振动曲线如下图所示。2.一质量为0.02kg的质点作简谐振动，其运动方程为x=0.60cos(5tπ/2)m。求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。解：（1）)25sin(0.3ddπttxv0.3)2sin(0.30πvm/s（2）2xmmaFx=A/2=0.3m时，15.03.0502.02FN。3.一立方形木块浮于静水中，其浸入部分高度为a。今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的高度为b，然后放手让其运动。试证明：若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动并求出周期及振幅。证明：选如图坐标系:，静止时:(1)mggaS任意位置时的动力学方程为：22ddxmggxSmt------(2)将(1)代入(2)得22d()dxgSxamt令yxa，则2222ddddxytt，上式化为：22ddygSymt0.020.02x(m)t(s)0.250.50OAA2A1xox令2gSm得:222d0dyyt------(3)上式是简谐振动的微分方程,它的通解为:0cos()yAt所以木块的运动是简谐振动.振动周期:222maTgSg0t时，0xb，0yba，00v振幅:22002Aybav4.在一轻弹簧下悬挂m0=100g的物体时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（令这时t=0）.选x轴向下，求振动方程解：在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。弹簧的劲度系数lgmk/0。当该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：]cos[tAx角频率为mk/代入数据后求得7rads1以平衡位置为原点建立坐标，有：00.04xm,00.21vms1据2200Ax(/)v得：0.05Am据Ax01cos得0.64rad,由于00v,应取064.rad于是，所求方程为：005(7064)x.cost.m据Ax01cos得/2,由于00v,应取/2于是，其振动方程为：20.06cos(10/2)xtm5.已知某质点作简谐运动，振动曲线如题图所示，试根据图中数据，求（1）振动表达式，（2）与P点状态对应的相位，（3）与P点状态相应的时刻。解（1）设振动表达式为x=Acos(t+)由题图可见，A=0.1m，当t=0时，有05.0cos1.00xm，这样得到3π。由振动曲线可以看到，在t=0时刻曲线的斜率大于零，故t=0时刻的速度大于零，由振动表达式可得v0=2sin0即sin0，由此得到初相位3π。类似地，从振动曲线可以看到，当t=4s时有0)3π4cos(1.04x0)3π4sin(1.04v联立以上两式解得2π3π4，则π245ra