2011现代数学复习题

现代数学复习题2011年（分析部分）1.若),,(X是测度空间,)(XS是X上所有简单函数的集合.（1）验证)(XS是线性空间.（2）对任意A，验证映射dxffA)(是)(XS上的线性泛函.（3）对任意)(0XSf，验证映射dxfAA)(是X上的测度.（4）定义dxgxfgfdA|)()(|),(1，此为)(XS上的距离吗？为什么？它满足距离的那些条件？2.若],[baCX是],[ba上所有连续函数组成的向量空间，定义[,]||||max|()|xabffx，则在此范数下],[baCX是Banach空间。对任意0[,]xab定义00()()xffx。证明0x是X上的连续线性泛函，并求0x的范数。3.若X是Banach空间，nxX使得数项级数1nnx是收敛的。证明级数1nnx在X中是收敛的。4.若],[baCX是],[ba上所有连续函数组成的向量空间，Xg满足()0gxk，([,])xab。定义badxxff|)(|||||1，||||()|()|bgafgxfxdx.（1）证明1||||和g||||是X上的两个个范数.（2）证明存在正实数Mm,使得)(||||||||||||11XffMffmg（3）对于Xh，定义乘法算子hffTXXThh,:，证明无论X是赋1||||范数，还是赋g||||范数，hT均是一有界线性算子，并在X赋1||||范数时求||||hT.5.若],[CX，定义dxxgxfgf)()(,.（1）证明此为X的内积，并求一个（无穷）规范正交集.（2）设},|{为实数babxaM，则M是X的子空间，并求M的一个规范正交基.（3）求函数2x在M上的最佳逼近。（数学结构部分）1.设{1,2,3,4,6,12}P，定义P上的二元关系如下：xyx能整除y。（1）写出关系矩阵。（2）验证(,)P是偏序集，并画出示图。（3）偏序集(,)P能否构成分配格？说明理由。2.设Z为整数加法群，nZ是模n的剩余类加群。（1）证明nZ是循环群。（2）证明Z与nZ同态。（3）证明任一n阶循环群与nZ同构。3.设G是交换群，H是G的子群，定义G上的关系“～”如下：1xyxyH。证明：“～”是等价关系。4.Z为正整数集，令{,}nAmmZmn证明：{}{}nTAnZ是Z是一个拓扑。5.设X是不可数集，在可数补拓扑空间中，证明：lim,()nnnxxNxxnN使得.