2011级研究生随机过程期末考试试题

2011级研究生第一学期考试试题(共2页第1页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2011年12月8日一、设随机过程ttCtBtAtX,cos2cossin)(，其中随机变量A、B和C相互独立，且概率分布分别为：31)1(AP，32)1(AP，43)1(BP，41)1(BP，21)1(CP，21)1(CP，试求：(1)一维分布函数);4(xF；(2)两个时刻))(X),0((X的联合概率分布表。(12分)二、设随机过程NkkktAtX1)2cos()(，其中为常数，NkAk,,2,1,相互独立且服从正态分布),0(2N，Nkk,,2,1,相互独立且服从（0，π）上均匀分布，且NkAkk,,2,1,,也相互独立，(1)求X(t)的均值函数和自相关函数，并判断是否为平稳过程；(2)试分析X(t)的均值是否具有各态历经性。(14分)三、设N(t)表示[0，t]内到达某电话总机的呼唤次数(t的单位为分钟)，{N(t)，t≥0}是一个强度为λ的泊松过程。又设每次呼唤能打通电话的概率为p(0p1)，且每次呼唤是否打通电话是相互独立的，它们与N(t)也相互独立。令Y(t)表示[0，t]内打通的电话次数。又设kS为[0，t]内第k次打通电话的通话时间，k=1,2,…，它们独立同分布，数学期望为T分钟。试证：(1){Y(t)，t≥0}是一个以λp为强度的泊松过程；(2)写出该电话总机在[0,t]内的通话时间表达式和其数学期望。(14分)四、设齐次马尔可夫链状态空间为E={1,2,3}，一步转移概率矩阵为：3231051535103132P，另外已知初始分布为：515351)0(P试求：（1）两步转移概率矩阵)2(P，绝对分布)2(P；(2)证明该链是遍历链；(3)求该链的平稳分布；(4)画出状态转移图，并分析状态2的分类属性，描述该链的状态空间分解结构。(14分)2011级研究生第一学期考试试题(共2页第2页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2011年12月8日五、设}0),({ttX是以}2,1,0{I为状态空间的马尔可夫过程，其概率转移矩阵)()()()()()()()()()(222120121110020100tptptptptptptptptptP满足：(1)当t=0时为单位阵；(2)ttpttptt)(lim)(lim020010，ttpt)(lim100，ttpt)(lim120，ttpttptt)(lim)(lim210200。试求：(1)求速度矩阵Q，要求写出推导过程；(2)写出柯尔莫哥洛夫后退方程(矩阵形式表示即可)；(3)求平稳分布。(14分)六、设平稳过程X(t)的自相关函数为22||22)(31)5cos()cos()(eeRX求X(t)的功率谱密度)(Xs。(10分)七、设一个线性系统输入平稳过程X(t)，其相关函数为||23)(eRX，若输入、输出过程的样本函数满足微分方程：)(5)()()(tXdttdXtYdttdY，试求：(1)线性系统的频率响应函数；(2)输出过程Y(t)的谱密度)(Ys和相关函数RY(τ)；(3)输入过程X(t)与输出过程Y(t)的互谱密度)(XYs。（14分）八、（1）求AR(1)模型nnnaXX131的自相关函数；（2）求MA(2)模型211.03.0nnnnaaaX的自相关函数。其中na是均值为0、方差为2的白噪声序列。(8分)