16_2二元函数的极限.

返回后页前页§2二元函数的极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限二、累次极限返回后页前页一、二元函数的极限f2RD0P定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.若0,0,使得当0(;)PUPD时,都有|()|,fPA0lim().PPPDfPA在对PD不致产生误解时,也可简单地写作f0PP则称在D上当时以A为极限,记作返回后页前页0lim().PPfPA0P00(,),(,)xyxy当P,分别用坐标表示时,上式也常写作00(,)(,)lim(,).xyxyfxyA例1依定义验证22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy证因为227xxyy22(4)2(1)xxyy返回后页前页|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2||2||1||3|.xxyyy不妨先限制在点(2,1)的方邻域(,)|2|1,|1|1xyxy内来讨论,于是有|3||14||1|45,yyy|2||(2)(1)5|xyxy|2||1|57.xy返回后页前页2277|2|5|1|xxyyxy7(|2||1|).xy0,min(1,),14取|2|,|1|xy当(,)(2,1)xy且时,就有2277214.xxyy这就证得22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy所以返回后页前页例2设2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyxyfxyxyxy，证明(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy证(证法一)0,由222222222202xyxyxyxyxyxy返回后页前页222211(),22xyxy可知222,0,xy当时便有22220,xyxyxy故(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy注意不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy返回后页前页(,)(0,0)xy(,)(0,0),xy因为的过程只要求即220,xy0.xy而并不要求(证法二)作极坐标变换cos,sin.xryr这时2222|(,)0|xyfxyxyxy2211|sin4|,44rr(,)(0,0)xy0r等价于(对任何).由于因此，220,2,rxy只须对任何返回后页前页都有2(,)(0,0)1|(,)0|,lim(,)0.4xyfxyrfxy即下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理16.50lim()PPPDfPA的充要条件是：对于D的任一子集E,只要仍是E的聚点,就有0P0lim().PPPEfPA返回后页前页1ED01lim()PPPEfP推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则0lim()PPPDfP也不存在．001212lim()lim()PPPPPEPEfPAfPA与120,,EEDP推论2若是它们的聚点，使得12AA0lim()PPPDfP都存在，但,则不存在．返回后页前页推论3极限0lim()PPPDfP存在的充要条件是：D中任一满足条件00lim{},nnnnPPPPP且点列的它所对应的函数列{()}nfP都收敛．下面三个例子是它们的应用．22(,)xyfxyxy(,)(0,0)xy例3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)ymx返回后页前页时，由于2(,)(,)1mfxyfxmxm,因此有2(,)(0,0)0lim(,)lim(,).1xyxymxmfxyfxmxm这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．210,(,)0yxxfxy，,，其余部分.4例设返回后页前页如图16-15所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,相应的(,)fxy都趋于0,但这并不表明此函数在返回后页前页(,)(0,0)xy时的极限为0.因为当(x,y)沿抛物线2(01)ykxk(,)fxy趋于点O时,将趋于1.所以极限(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在.(,)xyfxyxy(,)(0,0)xy例5讨论在时不存在极限．解利用定理16.5的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使(,)(0,0)xy时,得到两个相异的极限．返回后页前页第一条路径简单地取,yx此时有2(,)(0,0)0()limlim0.2xyxyxxyxxyx第二条路径可考虑能使(,)xyfxyxy的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取2.yxx此时得到222(,)(0,0)00()()limlimlim(1)1,xyxxyxxxyxxxxxyx返回后页前页这就达到了预期的目的．(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，000(,)Pxy是D的一个聚点.若0,0,M使得0(,)(;),(,),PxyUPDfxyM0PP则称f在D上当时,有非正常极限,记作00(,)(,)lim(,),xyxyfxy(,)fxy下面再给出当时,000(,)(,)PxyPxy返回后页前页或0lim().PPfP仿此可类似地定义：00lim()lim().PPPPfPfP与例6设221(,)23fxyxy.证明(,)(0,0)lim(,).xyfxy证此函数的图象见图16-16.返回后页前页返回后页前页2222234()xyxy0,M因,故对只需取2211,022xyMM当时，就有22221123,.23xyMMxy即这就证得结果．二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特同,这里不再一一叙述.(,)fxy()fP看作点函数别把时,相应的证法也相返回后页前页二、累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重00(,),xy的极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋在上面的极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy中,自变量(,)xy0x于与时f的极限,这种极限称为累次极限.0y定义3设,RxyEE,x0是Ex的聚点,y0是Ey的聚点,二元函数f在集合xyDEE上有定义.若返回后页前页0()yyEyy0lim(,)xxxxEfxy，对每一个,存在极限由于此极限一般与y有关,因此记作0()lim(,);xxxxEyfxy而且进一步存在极限0lim(),yyyyELy0()xx0()yy则称此L为f先对后对的累次极限,并记作返回后页前页00limlim(,),yxyyxxyExELfxy或简记作00limlim(,).yyxxLfxy类似地可以定义先对y后对x的累次极限:00limlim(,).xxyyKfxy累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.返回后页前页22(,)xyfxyxy(,)fxy例7设.由例3知道当(,)(0,0)xy0y时的重极限不存在.但当时,有220lim0,xxyxy从而又有2200limlim0.yxxyxy同理可得返回后页前页这说明f的两个累次极限都存在而且相等.累次极限分别为2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy2200limlim0.xyxyxy2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx例8设,它关于原点的两个22(,)xyxyfxyxy返回后页前页当沿斜率不同的直线,(,)(0,0)ymxxy时,易知所得极限也不同.因此该函数的重极限不存在.(下面的定理16.6将告诉我们,这个结果是必然的.)例９设11(,)sinsinfxyxyyx,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何0,y而当0x时,f的第二项不存在极限.同理,f的第一项当时也不存在极限.但是由于0y返回后页前页11sinsin||||,xyxyyx故按定义1知道f的重极限存在,且(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理16.6若f(x,y)在点存在重极限00(,)xy00(,)(,)lim(,)xyxyfxy返回后页前页与累次极限00limlim(,).xxyyfxy则他们必定相等.证设00(,)(,)lim(,),xyxyfxyA0,0,0(,)(;)PxyUP则使得当时,有|(,)|.(1)fxyA00||(2)xx的x,存在极限另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式返回后页前页0lim(,)().(3)yyfxyx|()|.(4)xA0yy回到不等式(1),让其中,由(3)可得故由(2),(4)两式,证得0lim()xxxA,即0000(,)(,)limlim(,)lim(,).xxyyxyxyfxyfxyA由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.推论1若累次极限00limlim(,)xxyyfxy00limlim(,)yyxxfxy,返回后页前页和重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy都存在,则三者相等.推论2若累次极限0000limlim(,)limlim(,)xxyyyyxxfxyfxy与都存在但不相等,则重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy必不存在.请注意:(i)定理16.6保证了在重极限与一个累次返回后页前页极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论,对此只需考察本节习题之2(5).(ii)推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；(iii)推论2可被用来否定重极限的存在性(如例8).0000(,)(,)()fxyPxyUP在点的某邻域内例10设,:有定义且满足返回后页前页0lim(,)();xxfxyy0(ii)()UPx在内,关于一致地存在极限0lim(,)().yyfxyx试证明:0000limlim(,)limlim(,).xxyyyyxxfxyfxy证01(lim())0,(ii),yyyA证明存在由条件00,0||(xyy对一切存在公共的只要并0(,)()),xyUP使便有00(i)(),UPyy在内,对每个存在极限返回后页前页|(,)()|.2fxyx00||,yy于是当时又有|(,)(,)||(,)()|fxyfxyfxyx|(,)()|.fxyx0,(i)xx再令由条件又得|()()|.yy根据柯西准则,证得0lim().yyyA存在返回后页前页|()||()(,)|xAxfxy|(,)()||()|,fxyyyA,充分接近时可使|()(,)|,|()|;33xfxyyA0,(i),0,0||,yxx再将固定由条件当时又有02(lim())0,xxxA证明由10(,)(),xyUPy当且与利用条件(ii)与结论,0