16复数的极限及连续性

11.6复数的极限及连续性一.函数的极限定义：若存在数A，0)0,,（（）当00zz时，有()fzA，则称A为()fz为0zz时的极限，记作0lim()zzfzA或当0zz时，()fzA。通俗定义：设函数0(),(,)wfzzUz，如果)()(lim00zfzfzz成立，则称)(zf在0z处连续；如果)(zf在E中每一点连续，则称)(zf在E上连续。几何意义:当变点z一旦进入0z的充分小去心邻域时,它的象点()fz就落入A的一个预先给定的ε邻域中注：1.意义中0zz的方式是任意的。与一元函数相比较要求更高。2.A是复数；若()fz在z出有极限，则极限是唯一。二、极限的运算法则复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理一.如果000iyxz，则0000000,0000,lim(,)(,)lim()lim(,)(,)xxyyzzxxyyuxyuxyfzAuivvxyvxy即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。定理二.若00lim()lim()zzzzfzAgzB，则：000lim()()lim()lim()zzzzzzfzgzfzgzAB000lim()()lim()lim()zzzzzzfzgzfzgzAB20000lim()()lim(lim()0)()lim()zzzzzzzzfzfzAgzgzgzB以上定理用极限的定义去证。例1.22()wxyixy试证在平面上处处有极限证明：22,xyxy在平面上处处有极限例2.()0zzfzzzz求在时的极限证明：22222()()xyfzxy在(0,0)处的极限不存在。例3.Re()0zfzzz证明在时的极限不存在22()xfzxy，22(,),(,)0,xuxyvxyxy,zykx当沿直线趋于零时222222200001lim(,)limlimlim()(1)1xxxxykxykxxxxuxyxyxkxxkk。例4.()(0)0zfzzzz证明函数当时的极限不存在。解：,()zxiyfzuiv令2222(,),xyuxyxy则222(,),xyvxyxy,zykx当沿直线趋于零时2220022lim(,)lim,1xxykxykxxykvxyxyk三、函数的连续性定义：若00lim()()zzfzfz，则称()fz在处连续；若在区域D内处处连续，则称()fz在D内连续；若0zzC、，且00lim()()zzfzfz，则称()fz在曲线C上点0z处连续。注：三要素由定义、有极限、极限值等于函数值。3定理三、()(,)(,)fzuxyivxy在000zxiy处连续000000(,)(,)00(,)(,)lim(,)(,)lim(,)(,)xyxyxyxyuxyuxyvxyvxy例1.00:(),().fzzfzz证明如果在连续那末在也连续证：()(,)(,)fzuxyivxy，则()(,)(,)fzuxyivxy，0(),fzz由在连续于是00(,)(,)(,),uxyvxyxy和也在处连续0()fzz故在连续。例2.2222()ln()()fzxyixy解：22(,)ln()uxyxy在复平面内除原点外处处连续22(,)vxyxy。在复平面处处联系。(,).fxy故在复平面内除原点外处处连续例3.证明()argfzz在原点及负实轴上不连续。(1)()argfzz在原点没有定义，故不连续。00000(2)(,0)(0),limarg,limargyyxxxxPxxzz在负实轴上argz在负实轴上不连续。定理四、连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。由以上讨论01()nnPzaazaz在整个复平面内连续；()()()PzRzQz在复平面内除分母为零点外处处连续。设曲线C为闭曲线或端点包括在内的曲线段，若()fz在曲线C上连续，0M在曲线上恒有()fzM.