2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第5篇1-2

第五篇第1章第二讲一、选择题1．(文)下列由小正方形组成的平面图形能够折成正方体的是()[答案]A(理)如图，能作为正方体的表面展开图的是()A．①②③④B．①②④⑥C．①②⑤⑥D．③④⑤⑥[答案]C[解析]③④两图在折叠时会出现两个正方形重合的情况，故不能折成完整的正方体．2．(文)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为()A.π4B.5π4C．πD.3π2[答案]C[解析]此几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其侧面积为2π×12×1＝π.(理)侧棱长为4，底面边长为3的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为()A．76πB．68πC．20πD．9π[答案]C[解析]设球心为O′，如图，球半径R＝OO′2＋OC2＝4＋1＝5，∴S球＝4π·R2＝20π.3．(文)P为△ABC所在平面外的一点，且PA＝PC，则P在平面ABC上的正投影必在△ABC的()A．AC边的垂直平分线上B．AC边的高线上C．AC边的中线上D．∠ABC的角平分线上[答案]A[解析]设P在平面ABC上的正投影为O，∵PA＝PC，∴OA＝OC，从而O点必在线段AC的中垂线上．(理)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体的表面上的正投影不可能是()[答案]B[解析]在上、下两个面上投影为A，在左、右两个面上投影为D，在前、后两个面上投影为C，故不可能为B.4．(文)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A.21B．1C．1＋22D.2[答案]D[解析]由条件知球O半径为32，球心O到直线EF的距离为12，由垂径定理可知直线EF被球O截得的线段长d＝2322－122＝2.(理)设棱锥的底面积是8cm2，那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是()A．4cm2B．22cm2C．2cm2D.2cm2[答案]C[解析]设截得的棱锥高为h′，中截面面积为S′，原棱锥的高为h，底面积为S.由性质，S′S＝h′h2∴S′＝14S＝2cm2.5．(文)一个封闭正方体各面分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现放成三种位置如图，则A、B、C对面字母分别为()A．D、E、FB．F、D、EC．E、F、DD．E、D、F[答案]B[解析]由图(1)可知，A、B、C是交于同一顶点的三个面，故由图(2)知，D的对面为B；由(3)知，A的对面为F，从而C的对边为E，∴选B.(理)正方体的直观图如图所示，则其展开图是()[答案]D[解析]A、C折成正方体后，三个侧面小正方形中的线均相连，B折起后，三条线平行，故A、B、C均不对．6．(文)若圆锥轴截面的顶角θ满足π3θπ2，则其侧面展开图中心角α满足()A.π4απ3B.π3απ2C.π2απD．πα2π[答案]D[解析]∵θ∈π3，π2∴θ2∈π6，π4，∴sinθ∈12，22.又rl＝sinθ∈12，22，∴其侧面展开图中心角α＝rl·2π∈(π，2π)．(理)过圆锥顶点的所有截面中，如果面积最大的是轴截面，那么圆锥侧面展开图的圆心角θ的取值范围是()A.0，π2B．(0，π)C．(0，2π)D．(0，2π][答案]D[解析]由于过顶点的截面都是以圆锥的母线为腰的等腰三角形，其面积的大小将取决于顶角，如果轴截面的顶角大于90°，那么过顶点可以作一个顶角为90°的截面，它是所有截面积中的最大者．所以当且仅当轴截面的顶角不大于90°时，轴截面的面积最大．如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，轴截面顶角为α则sinα2＝rl，易知，当且仅当0α≤π2时，在过顶点P的所有截面中，以轴截面的面积为最大．将圆锥沿母线PB剪开展平，得到扇形PBB′，由弧长公式得θ·l＝2πr，即rl＝θ2π，∴sinα2＝θ2π，∵0α≤π2，∴0θ2π≤22，即0θ≤2π.7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为()A.43π27B.6π2C.6π8D.6π24[答案]C[解析]根据题意折叠后的三棱锥P－DCE为正四面体，且棱长为1，以此正四面体来构造正方体，则此正方体的棱长为22，故正方体的体对角线的长为62，且正方体的外接球也为此正四面体的外接球，∴外接球的半径为64，∴V球＝43πr3＝43π643＝6π8，选C.[点评]本题以折叠问题为载体，考查多面体(正四面体)的外接球问题(多面体切接问题)，能力要求较高，体现了最新《考试大纲》“要构造有一定的深度和广度的数学问题”的高考命题要求．8．(文)(09·山东)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋23B．4π＋23C．2π＋233D．4π＋233[答案]C[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.(理)(09·宁夏、海南)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋122B．48＋242C．36＋122D．36＋242[答案]A[解析]三棱锥如图所示．AO⊥底面BCD，O是BD中点，BC＝CD＝6，BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.S△BCD＝12×6×6＝18，S△ABD＝12×62×4＝122.取AC中点E，连结AE、OE.可得BC⊥AE，AE＝AO2＋OE2＝5，∴S△ABC＝S△ACD＝12×6×5＝15，∴S全＝18＋122＋15＋15＝48＋122.9．(文)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则h1h2h＝()A.3B.3C.32D.33[答案]B[解析]拼成三棱柱如图ABC－A1B1C1，不妨设棱长为1，则三棱锥与三棱柱的高为均为63.而四棱锥A1－BCC1B1的高为直线A1A和平面BCC1B1的距离22，∴226363＝3(理)(08·全国Ⅱ)正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为()A．3B．6C．9D．18[答案]B[解析]如图所示，SB＝23，∠SBO＝60°在Rt△SOB中，OB＝3，SO＝3底面正方形边长BC＝3·2＝6∴VS－ABCD＝13·(6)2·3＝6.10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π[答案]C[解析]设正棱柱底面边长为a，则S底＝a2，∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.又正四棱柱内接于球，若球的半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴R＝6.∴球的表面积为4πR2＝24π.二、填空题11．(文)已知正四棱锥的底面边长是4cm，侧棱长是23cm，它的高与斜高的长分别为________．[答案]2cm,22cm[解析]设正四棱锥S－ABCD的高为SO，过点O作OE⊥BC于E，则E为BC中点．所以SO⊥OB，SO⊥OE.∵BC＝4，∴BE＝OE＝2，∴OB＝22.在Rt△SOB中，SO＝SB2－OB2＝(23)2－(22)2＝2在Rt△SOE中，SE＝SO2＋OE2＝22＋22＝22∴此棱锥的高为2cm，斜高为22cm.(理)已知正四棱台上、下底面边长分别为2cm和4cm，它的侧面积等于两底面积之和，则它的斜高为________，高为________．[答案]53cm，43cm[解析]设高为h，斜高为h′，则S侧＝12×(2＋4)h′×4＝12h′，S底＝22＋42＝20，由题设S侧＝S底，∴h′＝53，∴h＝532－1＝43.12．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．则圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为________．[答案]2－1[解析]设圆柱和圆锥的底面半径分别是r、R，根据相似得rR＝R－rR.即rR＝12.∴R＝2r.母线l＝2R，∴S圆柱表S圆锥表＝2πr2＋2πr2πR·2R＋πR2＝4πr2(2＋1)4r2＝2－1.[点评]解决组合体的问题，首先要分清切接的结构，然后画出合理的示意图，属于旋转体的一般画出它们的轴截面图．运用相似寻求各个量之间的关系．13．(08·宁夏、海南)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________．[答案]4π3[解析]正六棱柱的侧棱长h＝986×316＝3，∵球心在六棱柱的最长体对角线上，∴球的直径、正棱柱的侧棱、底面正六边形的最长对角线构成直角三角形，∴2R＝(3)2＋12＝2，∴R＝1，∴V球＝43×π×13＝4π3.14．(09·辽宁)某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3.[答案]4[解析]由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如图所示．∴PF＝2，CE＝3，AB＝4，∴V＝13×2×12×3×4＝4(m3)．三、解答题15．侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．[解析]沿侧棱VA剪开，侧面展开如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，∴AA1＝2AD＝6.16．已知过球面上三点A、B、C的截面与球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的半径．[解析]设球的半径为R，则截面△ABC到球心的距离d＝12R.由AB＝BC＝CA＝3，知△ABC外接圆半径r＝AB2sin60°＝33＝3.∴3＝R2－12R2，∴R＝2.17．(09·广东)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.[解析](1)该安全标识墩侧视图如图所示．(2)该安全标识墩的体积V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝13×40×40×60＋40×40×20＝64000(cm)3.(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又ABCD－EFGH为长方体，∴BD⊥FH.设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH.而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.