搜索
第五篇第2章第三讲一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④[答案]A2．a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：①a∥α且a∥b⇒b∥α；②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α；④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]a∥αa∥b⇒b∥α或b⊂α；a⊥αa⊥b⇒b∥α或b⊂α；a⊥βα⊥β⇒a∥α或a⊂α.3．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中共有________个直角三角形()A．8B．7C．6D．5[答案]A[解析]△PAC，△PAD，△PAB，△PDC，△PDB，△CDA，△BDA，△CAB共8个．4．(文)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正弦值为()A.63B.33C.66D.22[答案]A[解析]连接B1C、A1C，在正方体中，A1B1⊥平面B1BCC1，∴A1B1⊥B1C，∵E、F分别为棱AB、C1D1的中点，∴四边形A1ECF为菱形，由∠B1A1E＝∠B1A1F知，A1B1在平面A1ECF上的射影为∠EA1F的平分线A1C，∴∠B1A1C为A1B1与平面A1ECF所成的角，设正方体棱长为a，则sin∠B1A1C＝B1CA1C＝2a3a＝63.(理)棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()A.12B.22C.34D.38[答案]C[解析]过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M⊥平面DD1C1C，∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝3，又A1C＝AC21＋CC21＝(23)2＋22＝4，∴sin∠A1CM＝A1MA1C＝34，故应选C.5．(文)(09·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴为必要不充分条件，故选B.(理)若平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直[答案]C[解析]若β内存在直线与m平行，则必有β⊥α，但α与β不一定垂直，故否定A、D；在β内必存在与m在β内射影垂直的直线，从而此线必与m垂直，否定B，故选C.6．过正方形ABCD之顶点A作PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]B[解析]过P作直线l∥AB，则l为二面角的棱，易证∠APD即为所求．∵AP＝AD，∠PAD＝90°，∴∠APD＝45°.7．(09·四川)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D[解析]∵PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，排除A.又BD⊥AB，BD⊥PA，∴BD⊥平面PAB.但BD不在平面PBC内，排除B.对于C选项，∵BD∥AE，∴BD∥平面PAE，∴BC与平面PAE不平行，排除C.又∵PD与平面ABC所成角为∠PDA，∵AD＝2AB＝PA，∴∠PDA＝45°，故选D.8．△SQD在正四面体D－ABC的四个面上的射影可能．．是()A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②④[答案]A[解析]△SDQ在面ADC上的射影如图③，△SDQ在面ABD上的射影为图④，△SDQ在面ABC上的射影为图①，△SDQ在面BDC上的射影为图②，因此选A.9．(文)(09·北京)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.33B．1C.2D.3[答案]D[解析]依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝3.故选D.(理)(09·全国Ⅰ)已知二面角α－l－β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为()A.2B．2C．23D．4[答案]C[解析]如图，PB、QD分别垂直于平面α、β，B、D为垂足，过B、D作BA、DC与两平面的交线垂直，连结PB、QD，易求得PA＝2，CQ＝4，10．已知a、b、c是直线，α、β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是()A．a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α[答案]D[解析]A中缺b与c相交的条件；如图(1)，可知b∥α，a⊥b时，a与α可平行、可相交，相交时也可垂直，故B错；如图(2)是一个正方体，满足α⊥β，直线a可以是AC，也可以是AB，故C错．二、填空题11．直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影和斜边BC组成的图形只能是________．[答案]线段或钝角三角形[解析]当△ABC所在平面与α垂直时为线段；否则如图A′C2＋A′B2AC2＋AB2＝BC2，∴△A′BC为钝角三角形．12．△ABC的三边长分别为3、4、5，P为面ABC外一点，它到三边的距离都等于2，则P到面ABC的距离是________．[答案]3[解析]顶点在底面上的射影O为三角形ABC的内心，其内切圆半径r＝1，则PO＝3.13．P为△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC形状可以是________．①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)[答案]①②④[解析]设点P在底面ABC上的射影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，得OA＝OB＝OC，即点O为△ABC的外心，又由PA⊥BC，得OA⊥BC，即AO为△ABC中BC边上的高线，∴AB＝AC，即△ABC必为等腰三角形，故应填①②④.14．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)[答案]①②④三、解答题15．已知矩形ABCD中，过A作SA⊥面ABCD，再过A作AE⊥SB交SB于E，作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若SD∩面AEF＝G，求证：AG⊥SD.[证明](1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE，又SB⊥AE，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC，又EF⊥SC，所以SC⊥平面AEF，所以AF⊥SC.(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC，又AD⊥DC，所以DC⊥平面SAD.所以DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF.所以SC⊥AG，所以AG⊥平面SDC.所以AG⊥SD.16．(文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，2AB＝BC＝BB1＝a，且A1C∩AC1＝D，BC1∩B1C＝E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE，(1)求证：A1B1⊥平面BB1C1C(2)求证：A1C⊥BC1(3)求证：DE⊥平面BB1C1C[解析]证明：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BB1C1C.(2)由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，又由(1)可知A1B1⊥平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1，又∵A1B1∩B1C＝B1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，∴BC1⊥平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，∴BC1⊥A1C.(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由(1)知，A1B1⊥平面BB1C1C.∴DE⊥平面BB1C1C.(理)如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．[解析](1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD，在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝2，易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点．∵DE∥AB，DE＝AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE.又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.∵D1E⊄平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.17．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC与侧面A1ACC1所成角为90°.(1)求证：BE＝B1E；(2)若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的大小．[解析](1)取A1C1中点F，作EG⊥面AC1于G，B1F∥EGB1E∥面AC1⇒BE∥FG⇒B1EGF为平行四边形⇒FG⊥A1C1⇒G为A1C之中点．从而E为BB1之中点．∴BE＝B1E.(2)由(1)知G为矩形ACC1A1的中心，过G作直线平行于A1C1，交AA1于点P，交CC1于Q点，连结EP，EQ，则平面A1B1C1∥平面PEQ，即求平面AEC与平面PEQ所成的角，∵交线为EG，∴其平面角为∠A1GP，因AA1＝A1B1，则ACC1A1为正方形，则∠A1GP＝45°.